センター試験 数学Ⅱ・B 2006年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2006年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1\vphantom{h}}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\FBDS#1{{\fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{#1}}}} %添え字用細枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 平面上の三つのベクトル$\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$は \[\vabs{\vec{a}}=\vabs{\vec{b}}=\vabs{\vec{c}}=\vabs{\vec{a}+\vec{b}}=1\] を満たし,$\vec{c}$は$\vec{a}$に垂直で,$\vec{b}\mdot\vec{c}>0$であるとする。 \begin{shomon} $\vec{a}$と$\vec{b}$の内積は \[\vec{a}\mdot\vec{b}=\frac{\FBA{アイ}}{\FBA{ウ}}\] である。また \[\vabs{2\vec{a}+\vec{b}}=\sqrt{\FBA{エ}}\] であり,$2\vec{a}+\vec{b}$と$\vec{b}$のなす角は$\FBA{オカ}\Shisu{\circ}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} ベクトル$\vec{c}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表すと \[\vec{c}=\frac{\dsqrt{\FBA{キ}}}{\FBA{ク}}\SK{\vec{a}+\FBA{ケ}\vec{b}}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $x,\,y$を実数とする。ベクトル$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{c}$が \[0 \leq \vec{p}\mdot\vec{a} \leq 1,\,0 \leq \vec{p}\mdot\vec{b} \leq 1\] を満たすための必要十分条件は \[\FBA{コ}\leq x \leq\FBA{サ},\,x \leq\sqrt{\FBA{シ}}\,y \leq x+\FBA{ス}\] である。$x$と$y$が上の範囲を動くとき,$\vec{p}\mdot\vec{c}$は最大値$\dsqrt{\FBA{セ}}$をとり,この最大値をとるときの$\vec{p}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表すと \[\vec{p}=\FBA{ソ}\vec{a}+\FBA{タ}\vec{b}\] である。 \end{shomon} \end{document}