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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
慶應義塾大学 |
学科・方式 |
理工学部 |
年度 |
2002年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理工学部
|
カテゴリ |
確率 ・ 関数と極限
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=131mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\def\:{\hspace*{1pt}} \def\;{\hspace*{.5pt}} \def\?{\hspace*{-.5pt}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-1zw}{\Large\textbf{A\ 2}} \\
$n\ \,を\ 3\ 以\;上\;の\;自\;然\;数\;と\;す\;る。\ \ n\ \,個の\;箱\;に\ 2n\ \,
個\;の\;ボ\;ー\;ル\;を\;で\;た\;ら\;め\;に\;入\;れ\\[1mm]る。\hspace*{6.5pt}す%
\hspace*{.7pt}な\hspace*{.8pt}わ\hspace*{.7pt}ち\makebox[2.5zw][c]{$n^{2n}$}通%
\hspace*{.6pt}り\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}ボ\hspace*{.6pt}ー\hspace*{.6pt}%
ル\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}入\hspace*{.6pt}れ\hspace*{.6pt}方\hspace*{.6pt
}が\hspace*{.6pt}同\hspace*{.6pt}様\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}確\hspace*
{.6pt}か\hspace*{.6pt}さ\hspace*{.6pt}で\hspace*{1pt}お\hspace*{.6pt}こ\hspace*
{.6pt}る\hspace*{.6pt}と\hspace*{.6pt}す\hspace*{.6pt}る。\\[1mm]
k=1,\ 2,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,,\ n\ に対し,\ \ k\ 番目の箱が空であるという事象を\
A_k\,,\ \,k\ 番目の箱に\\[1mm]ボールが\ 1\ 個だけ入っているという事象を\ \,B_k\ \,と
する。また,空の箱の個数を \\[1mm]
M_n\,,\ \ ボールが\ 1\ 個だけ入った箱の個数を\ \,N_n\ \,とする。このとき,次の\
\paalen{\mbox{\small キ}}\ ~\displaystyle \\[1mm]
\paalen{\mbox{\small シ}}\ を求めなさい。ただし,\ \ \paalen{
\mbox{\small ケ}},\ \ \paalen{\mbox{\small シ}}\ は\ e\,\bigl(\,=\lim_{h\to 0}
(1+h)^{\!\frac{1}{\,h\,}}\bigr)\ を用いて表しな \\[.5mm]さ\;い。\\[1mm]
\quad A_1,\ \,B_1\ \,の起こる確率はそ\;れ\;ぞ\;れP(A_1)\,=\ \kobox{(キ)}\,,\ \
P(B_1)\,=\ \kobox{(ク)}\ と\\[1mm]なる。\ \,M_n\ の期待値\ E(M_n)\ は事象\ \,
A_1,\ \,A_2,\ \,\cdot\!\cdot\!\cdot\ ,\ \,A_n\ \,の起こる確率の和となる \\[1mm]
ので,\ \,\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\,n\,}E(M_n)=\,\kobox{(ケ)}\ となる。また\
P(A_1\cap B_2)=\,\kobox{(コ)}\ であり,\\[1mm]
積\ M_n N_n\ の期待値は事象\ A_j\cap B_k\ (j,\ k\!=\!1,\ 2,\ \cdot\!\cdot\!
\cdot\ ,\ n)\ の起こる確率の和となる \\[1mm]
ので,\ \ E(M_n N_n)=\,\kobox{(サ)}\ となり,\\[2mm]
\hspace*{3zw} \lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n^2\,}E(M_{\!n}\!N_{\!n})
=\,\kobox{(シ)}\,=\lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n\,}E(M_n)\:\mbox{\large$
\times$}\lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n\,}E(N_n) \\[2mm]
が成り立つ。$
\end{document}