慶應義塾大学 理工学部 2002年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2002年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=131mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \def\:{\hspace*{1pt}} \def\;{\hspace*{.5pt}} \def\?{\hspace*{-.5pt}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\Large\textbf{A\ 2}} \\ $n\ \,を\ 3\ 以\;上\;の\;自\;然\;数\;と\;す\;る。\ \ n\ \,個の\;箱\;に\ 2n\ \, 個\;の\;ボ\;ー\;ル\;を\;で\;た\;ら\;め\;に\;入\;れ\\[1mm]る。\hspace*{6.5pt}す% \hspace*{.7pt}な\hspace*{.8pt}わ\hspace*{.7pt}ち\makebox[2.5zw][c]{$n^{2n}$}通% \hspace*{.6pt}り\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}ボ\hspace*{.6pt}ー\hspace*{.6pt}% ル\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}入\hspace*{.6pt}れ\hspace*{.6pt}方\hspace*{.6pt }が\hspace*{.6pt}同\hspace*{.6pt}様\hspace*{.6pt}の\hspace*{.6pt}確\hspace* {.6pt}か\hspace*{.6pt}さ\hspace*{.6pt}で\hspace*{1pt}お\hspace*{.6pt}こ\hspace* {.6pt}る\hspace*{.6pt}と\hspace*{.6pt}す\hspace*{.6pt}る。\\[1mm] k=1,\ 2,\ \cdot\!\cdot\!\cdot\,,\ n\ に対し,\ \ k\ 番目の箱が空であるという事象を\ A_k\,,\ \,k\ 番目の箱に\\[1mm]ボールが\ 1\ 個だけ入っているという事象を\ \,B_k\ \,と する。また,空の箱の個数を \\[1mm] M_n\,,\ \ ボールが\ 1\ 個だけ入った箱の個数を\ \,N_n\ \,とする。このとき,次の\ \paalen{\mbox{\small キ}}\ ~\displaystyle \\[1mm] \paalen{\mbox{\small シ}}\ を求めなさい。ただし,\ \ \paalen{ \mbox{\small ケ}},\ \ \paalen{\mbox{\small シ}}\ は\ e\,\bigl(\,=\lim_{h\to 0} (1+h)^{\!\frac{1}{\,h\,}}\bigr)\ を用いて表しな \\[.5mm]さ\;い。\\[1mm] \quad A_1,\ \,B_1\ \,の起こる確率はそ\;れ\;ぞ\;れP(A_1)\,=\ \kobox{(キ)}\,,\ \ P(B_1)\,=\ \kobox{(ク)}\ と\\[1mm]なる。\ \,M_n\ の期待値\ E(M_n)\ は事象\ \, A_1,\ \,A_2,\ \,\cdot\!\cdot\!\cdot\ ,\ \,A_n\ \,の起こる確率の和となる \\[1mm] ので,\ \,\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\,n\,}E(M_n)=\,\kobox{(ケ)}\ となる。また\ P(A_1\cap B_2)=\,\kobox{(コ)}\ であり,\\[1mm] 積\ M_n N_n\ の期待値は事象\ A_j\cap B_k\ (j,\ k\!=\!1,\ 2,\ \cdot\!\cdot\! \cdot\ ,\ n)\ の起こる確率の和となる \\[1mm] ので,\ \ E(M_n N_n)=\,\kobox{(サ)}\ となり,\\[2mm] \hspace*{3zw} \lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n^2\,}E(M_{\!n}\!N_{\!n}) =\,\kobox{(シ)}\,=\lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n\,}E(M_n)\:\mbox{\large$ \times$}\lim_{n\to\infty}\!\frac{1}{\,n\,}E(N_n) \\[2mm] が成り立つ。$ \end{document}