早稲田大学 教育学部<理科系> 2003年度 問4

解答を見る

解答作成者: 大塚 美紀生

このコンテンツをご覧いただくためにはJavaScriptをONにし、最新のFlash Playerが必要です。

最新のFlash Playerのインストールはこちら

入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2003年度
問No 問4
学部 教育学部
カテゴリ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

コメントをつけるにはログインが必要です。

コメントはまだありません。

\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\eNbr#1{{\fboxrule=.8pt\fboxsep=1.2mm\framebox[6.5mm][c] {\textbf{\large#1}\hspace*{.7pt}}}}% #1には全角数字を入力 \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\eNbr{4}\ \ 座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に 点P$(0,1)$, \,Q$(1,0)をとり,点 \\[1mm]% \hspace*{-2pt}\mathrm{P_1,P_2\cdots および点R_1,R_2,\cdots を次のように定める。 \ \,P=P_1\,とし,\ \,P}_n\,が与えられた \\[1mm] \hspace*{-5pt}とき,弧\ \,\begin{picture}(0,0)\spline(0,9)(6,12)(15,12)(21,9) \end{picture}\mbox{P}_n\mbox{Q\ \,の中点をP}_{n+1}\,とする。また,\ \, \mathrm{P=R_1\,とし,\ R}_n\,が与えられたとき,$ \\[1mm]% \hspace*{-2pt}R$_n$から半径OP$_{n+1}$へ下した垂線の足をR${}_{n+1}\,とする。 \ \ n=1,2,\cdots に対して,\ \ a_n= $ \\[1mm]% \hspace*{-2pt}R$_n$R$_{n+1}\,と定める。このとき,以下の等式および不等式を示せ。 \displaystyle \\[4mm]% \hspace*{1zw}(\raisebox{-1pt}{\hspace*{-1pt}\textgt{1}})\ \ a_n=\frac{1} {\,{2_{}}^n\cos\frac{\pi}{\,2^{n+1}\,}\,} \ \ \ (n=1,2,\hspace*{1pt}\cdots) \\ [3mm]\hspace*{1zw}(\raisebox{-1pt}{\textgt{2}})\ \ \frac{1}{3}a_n\,<\,a_{n+1} \,<\,\frac{1}{2}a_n \ \ \ (n=1,2,\hspace*{1pt}\cdots) $ \\[3mm]% \hspace*{1zw}(\raisebox{-1pt}{\textgt{3}})\ \ R${}_1$, R${}_2,\,\cdots$, R$ {}_n$, R${}_{n+1}\,を順次結んで得られる折れ線の長さ L_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\, a_i\ は \\[2mm]\hspace*{8zw} \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{4}\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\,<\,\lim_{n\to \infty} L_n\,<\,\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} \\[3mm] \hspace*{3zw} をみたす。$ \end{document}