センター試験 数学Ⅱ・B 2007年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2007年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 点Oを原点とする座標空間に4点A$(1,\,0,\,0)$,B$(0,\,1,\,1)$,C$(1,\,0,\,1)$,D$(-2,\,-1,\,-2)$がある。$0<a<1$とし,線分ABを$a:(1-a)$に内分する点をE,線分CDを$a:(1-a)$に内分する点をFとする。 \begin{shomon} $\Vec{EF}$は$a$を用いて \[\Vec{EF}=\SK{\FBA{アイ}a,\,\FBA{ウエ}a,\,\FBA{オ}-\FBA{カ}a}\] と表される。さらに,$\Vec{EF}$が$\Vec{AB}$に垂直であるのは$a=\dfrac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}$のときである。 \end{shomon} \begin{shomon} $a=\dfrac{\FBAS{キ}}{\FBAS{ク}}$とする。$0<b<1$として,線分EFを$b:(1-b)$に内分する点をGとすると,$\Vec{OG}$は$b$を用いて \[\Vec{OG}=\SK{\frac{\FBA{ケ}-\FBA{コ}b}{\FBA{サ}},\,\frac{\FBA{シ}-\FBA{ス}b}{\FBAS{サ}},\,\frac{\FBA{セ}}{\FBAS{サ}}}\] と表される。 \end{shomon} \begin{shomon} \kakkoni において,直線OGと直線BCが交わるときの$b$の値と,その交点Hの座標を求めよう。\\ \quad 点Hは直線BC上にあるから,実数$s$を用いて$\Vec{BH}=s\Vec{BC}$と表される。また,ベクトル$\Vec{OH}$は実数$t$を用いて$\Vec{OH}=t\Vec{OG}$と表される。よって \[b=\frac{\FBA{ソ}}{\FBA{タ}},\,s=\frac{\FBA{チ}}{\FBA{ツ}},\,t=\FBA{テ}\] である。したがって,点Hの座標は \[\SK{\frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}},\,\frac{\FBA{ニヌ}}{\FBAS{ナ}},\,\FBA{ネ}}\] である。また,点Hは線分BCを$\FBA{ノ}:1$に外分する。 \end{shomon} \end{document}