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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2007年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
数列
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第３問}}(配点 \; 20)\\
三つの数列$\CK{a_n},\,\CK{b_n},\,\CK{c_n}$がある。
\begin{shomon}
数列$\CK{a_n}$は初項が$-27$で，漸化式
\[a_{n+1}=3a_n+60 \quad (n=1,2,3,\cdots )\]
を満たすとする。このとき
\[a_n=\FBA{ア}\Shisu{n}-\FBA{イウ}\]
である。数列$\CK{a_n}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は
\[S_n=\frac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}}\SK{\FBA{カ}\Shisu{n}-\FBA{キ}}-\FBAS{イウ}n\]
である。また，$S_n>0$となる最小の自然数$n$は\FBA{ク}である。
\end{shomon}
\begin{shomon}
第$n$項が$2b_n+c_n$で与えられる数列$\CK{2b_n+c_n}$は初項が0で公差が$d$の等差数列になり，第$n$項が$b_n-2c_n$で与えられる数列$\CK{b_n-2c_n}$は，初項が$x$で公比が$r$の等比数列になるとする。このとき$b_n+c_n$は
\[b_n+c_n=\frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}d(n-1)-\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}xr^{n-1}\]
と表される。
\end{shomon}
\begin{shomon}
数列$\CK{a_n},\,\CK{b_n},\,\CK{c_n}$は\kakkoichi ， \kakkoni を満たすとする。さらに，第$n$項が$b_n+c_n$で与えられる数列$\CK{b_n+c_n}$の階差数列は，数列$\CK{a_n}$であるとする。このとき
\[a_n=\frac{\FBAS{ケ}}{\FBAS{コ}}d+\frac{\FBAS{サ}}{\FBAS{シ}}x(1-r)r^{n-1}\]
であるから，\kakkoichi より
\[r=\FBA{ス},\,x=\frac{\FBB{セソタ}}{\FBA{チ}},\,d=\FBB{ツテト}\]
である。したがって，数列$\CK{b_n},\,\CK{c_n}$の第$n$項は，それぞれ
\[b_n=-\frac{\FBA{ナ}\Shisu{n}}{\FBA{ニ}}-\FBA{ヌネ}(n-1)\]
\[c_n=\FBA{ノ}\Shisu{n}-\FBA{ハヒ}(n-1)\]
である。
\end{shomon}
\end{document}
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