センター試験 数学Ⅱ・B 2007年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2007年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ 三つの数列$\CK{a_n},\,\CK{b_n},\,\CK{c_n}$がある。 \begin{shomon} 数列$\CK{a_n}$は初項が$-27$で,漸化式 \[a_{n+1}=3a_n+60 \quad (n=1,2,3,\cdots )\] を満たすとする。このとき \[a_n=\FBA{ア}\Shisu{n}-\FBA{イウ}\] である。数列$\CK{a_n}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は \[S_n=\frac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}}\SK{\FBA{カ}\Shisu{n}-\FBA{キ}}-\FBAS{イウ}n\] である。また,$S_n>0$となる最小の自然数$n$は\FBA{ク}である。 \end{shomon} \begin{shomon} 第$n$項が$2b_n+c_n$で与えられる数列$\CK{2b_n+c_n}$は初項が0で公差が$d$の等差数列になり,第$n$項が$b_n-2c_n$で与えられる数列$\CK{b_n-2c_n}$は,初項が$x$で公比が$r$の等比数列になるとする。このとき$b_n+c_n$は \[b_n+c_n=\frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}d(n-1)-\frac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}xr^{n-1}\] と表される。 \end{shomon} \begin{shomon} 数列$\CK{a_n},\,\CK{b_n},\,\CK{c_n}$は\kakkoichi , \kakkoni を満たすとする。さらに,第$n$項が$b_n+c_n$で与えられる数列$\CK{b_n+c_n}$の階差数列は,数列$\CK{a_n}$であるとする。このとき \[a_n=\frac{\FBAS{ケ}}{\FBAS{コ}}d+\frac{\FBAS{サ}}{\FBAS{シ}}x(1-r)r^{n-1}\] であるから,\kakkoichi より \[r=\FBA{ス},\,x=\frac{\FBB{セソタ}}{\FBA{チ}},\,d=\FBB{ツテト}\] である。したがって,数列$\CK{b_n},\,\CK{c_n}$の第$n$項は,それぞれ \[b_n=-\frac{\FBA{ナ}\Shisu{n}}{\FBA{ニ}}-\FBA{ヌネ}(n-1)\] \[c_n=\FBA{ノ}\Shisu{n}-\FBA{ハヒ}(n-1)\] である。 \end{shomon} \end{document}