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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2007年度 |
| 問No |
問1 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
図形と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第１問}}(配点 \; 30)\\
\BK{\kagiichi}
不等式
\[\h \sin2x>\sqrt{2}\cos\SK{x+\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}\]
を満たす$x$の範囲を求めよう。ただし，$0 \leq x < 2\pi$とする。\\
\quad $a=\sin x,\,b=\cos x$とおくと，与えられた不等式は
\[\h \FBA{ア}ab+\FBA{イ}a-\FBA{ウ}b-1>0\]
となる。左辺の因数分解を利用して$x$の範囲を求めると
\[\h \frac{\pi}{\FBA{エ}}<x<\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\pi\quad または\quad \frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}\pi <x< \frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\pi \]
である。
\EK
\vspace{2mm}
\BK{\kagini}
不等式
\[\h 2+\log_{\sqrt{y}}3<\log_y81+2\log_y\SK{1-\frac{x}{2}}\]
の表す領域を求めよう。\\
\quad $y$と$\dsqrt{y}$は対数の底であるから$y>\FBA{サ},\,y\neq\FBA{シ}$である。真数は正であるから$x<\FBA{ス}$である。ただし，対数$\log_ab$に対し，$a$を底といい，$b$を真数という。\\
\quad また
\[\h \log_{\sqrt{y}}3=\frac{\FBA{セ}}{\log_3y},\,\log_y81=\frac{\FBA{ソ}}{\log_3y}\]
であるから，与えられた不等式は
\[\h 1<\frac{\FBA{タ}}{\log_3y}+\frac{\log_3\SK{1-\frac{x}{2}}}{\log_3y}\]
となる。よって
\[\h \hspace{28.5pt}y>\FBA{チ}\hspace{28.5pt} のとき，\log_3y<\log_3\CK{\FBA{ツ}\SK{1-\dfrac{x}{2}}}\]
\[\h \FBA{テ}<y<\FBAS{チ}\;\; のとき，\log_3y>\log_3\CK{\FBAS{ツ}\SK{1-\dfrac{x}{2}}}\]
となる。\\
\quad 求める領域を図示すると，次の図\FBA{ト}の影をつけた部分となる。ただし，境界(境界線)は含まない。\FBAS{ト}に当てはまるものを，次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\NM{\nagamarurei} & \NM{\nagamaruichi}\\
\includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou1.eps} &
\includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou22.eps} \\
& \\
\NM{\nagamaruni} & \NM{\nagamarusan} \\
\includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou3.eps} &
\includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou4.eps}
\end{tabular}
\end{center}
\EK
\end{document}
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