センター試験 数学Ⅱ・B 2007年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2007年度
問No 問1
学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 不等式 \[\h \sin2x>\sqrt{2}\cos\SK{x+\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2}\] を満たす$x$の範囲を求めよう。ただし,$0 \leq x < 2\pi$とする。\\ \quad $a=\sin x,\,b=\cos x$とおくと,与えられた不等式は \[\h \FBA{ア}ab+\FBA{イ}a-\FBA{ウ}b-1>0\] となる。左辺の因数分解を利用して$x$の範囲を求めると \[\h \frac{\pi}{\FBA{エ}}<x<\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\pi\quad または\quad \frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}\pi <x< \frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\pi \] である。 \EK \vspace{2mm} \BK{\kagini} 不等式 \[\h 2+\log_{\sqrt{y}}3<\log_y81+2\log_y\SK{1-\frac{x}{2}}\] の表す領域を求めよう。\\ \quad $y$と$\dsqrt{y}$は対数の底であるから$y>\FBA{サ},\,y\neq\FBA{シ}$である。真数は正であるから$x<\FBA{ス}$である。ただし,対数$\log_ab$に対し,$a$を底といい,$b$を真数という。\\ \quad また \[\h \log_{\sqrt{y}}3=\frac{\FBA{セ}}{\log_3y},\,\log_y81=\frac{\FBA{ソ}}{\log_3y}\] であるから,与えられた不等式は \[\h 1<\frac{\FBA{タ}}{\log_3y}+\frac{\log_3\SK{1-\frac{x}{2}}}{\log_3y}\] となる。よって \[\h \hspace{28.5pt}y>\FBA{チ}\hspace{28.5pt} のとき,\log_3y<\log_3\CK{\FBA{ツ}\SK{1-\dfrac{x}{2}}}\] \[\h \FBA{テ}<y<\FBAS{チ}\;\; のとき,\log_3y>\log_3\CK{\FBAS{ツ}\SK{1-\dfrac{x}{2}}}\] となる。\\ \quad 求める領域を図示すると,次の図\FBA{ト}の影をつけた部分となる。ただし,境界(境界線)は含まない。\FBAS{ト}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。 \begin{center} \begin{tabular}{cc} \NM{\nagamarurei} & \NM{\nagamaruichi}\\ \includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou1.eps} & \includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou22.eps} \\ & \\ \NM{\nagamaruni} & \NM{\nagamarusan} \\ \includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou3.eps} & \includegraphics[width=4.5cm,clip]{center2007-2b-1sankou4.eps} \end{tabular} \end{center} \EK \end{document}