早稲田大学 理工 2003年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2003年度
問No 問5
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 微分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=118mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \noindent\makebox[1zw][c]{V}.\quad 放\hspace*{.3pt}物\hspace*{.3pt}線 $ y=\dfrac{\ x^2\,}{2}\ の\hspace*{.3pt}う\hspace*{.3pt}ち,\ 0\leqq x\leqq 1\ の\hspace*{.3pt}部\hspace*{.3pt}分\hspace*{.3pt}を\ C\ と\hspace*{.3pt}す \hspace*{.3pt}る.\ \,C$ 上\hspace*{.3pt}の \\[2mm]% 点 P$(x,\,y)$ に対し,\ 原点OからPまでの $C\ の部分の長さを\ s\ で表す. \\[2mm]% xとyをsの関数とみなしてx=f(s),\,y=g(s)とおくとき,\,以下の問 \\[2mm] に答えよ. \\[5mm]% \ (1)\ \{f'(s)\}^2+\{g'(s)\}^2\ の値を求めよ. \displaystyle \\[2mm] \ (2)\ 次の等式を示せ. \\[4mm] \hspace*{3zw} f''(s)=-\frac{1}{\bigl(1+\{f(s)\}^2\bigr){}^\frac{3}{2}}g'(s), \ \ g''(s)=\frac{1}{\bigl(1+\{f(s)\}^2\bigr){}^\frac{3}{2}}f'(s). $ \\[3mm]% \ (3)\ P \,における $C$ の法線上にあり,\ \,P と\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}距 \hspace*{.3pt}離\hspace*{.3pt}が\hspace*{.3pt}正\hspace*{.3pt}の\hspace* {.3pt}定\hspace*{.3pt}数 \,$a\ で\hspace*{.3pt}あ\hspace*{.3pt}る \\[2mm]% \qquad 2\ 点のうち,\ C$の下側にあるものを Q$(v,\,w)とする.\ \,v,\,wをf(s), \\ [2mm]\qquad g(s),\,f'(s),\,g'(s)を用いて表せ. \\[2mm] \ (4)\ C\hspace*{3pt}の長さを\hspace*{3pt}L$\hspace*{3pt}とし,\ P\hspace* {3pt}が\hspace*{3.3pt}$C$\hspace*{3pt}全体を動くときの,\ Q\hspace*{3pt}の描く 曲線の長\\[1mm]\qquad さを$Mとする.\hspace*{4.5pt}M\makebox[1zw][c] {\raisebox{.5pt}{$-$}}Lを求めよ.\ ただし,\hspace*{1pt}\displaystyle\int_0^1\! \frac{1}{\,1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}\hspace*{3pt}を用\\[1.5mm]\qquad いてもよい.$ \end{document}