慶應義塾大学 理工学部 2003年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2003年度
問No 問5
学部 理工学部
カテゴリ 式と証明
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{B\ 1}} \\ 平面上の点 P$(x,\ y)\ に値 \\[2mm] \hspace*{8.5zw} F(\mbox{P})=\ \,\begin{picture}(0,0) \put(2,24){\arc{4}{-3.14}{-1.94}} \path(0,24)(0,5) \put(-2,5){\arc{4}{0}{1.4}} \put(-2,1){\arc{4}{-1.4}{0}} \path(0,1)(0,-18) \put(2,-18){\arc{4}{1.94}{3.14}} \end{picture}\,\begin{array}{r@{\hspace*{2zw}}l} 1 & \paalen{x<0,\ \,y\geqq 0\ のとき} \\[1mm] -1 & \paalen{x\geqq 0,\ \,y<0\ のとき} \\[1mm] 0 & \paalen{その他のとき} \end{array} \\[2.5mm] を対応させる。このとき,次の問に答えなさい。\\[1mm] (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,実数列 \\[3mm] \hspace*{7zw} a_{\mbox{\tiny$i$}}=-1+\dfrac{2i}{\,2k+1\,} \hspace*{2zw} (i=0,\,1,\,\cdots\hspace*{1pt},\ 2k+1) \\[3mm] \quad\ \ から作られた点\ \,\mbox{P}_{\!\mbox{\tiny 1}}(a_{\mbox{\tiny 0}},\ a_{\mbox{\tiny 1}})\hspace*{.5pt},\ \mbox{P}_{\!\mbox{\tiny 2}}(a_{\mbox {\tiny 1}},\ a_{\mbox{\tiny 2}})\hspace*{.5pt},\ \cdots\hspace*{1pt},\ \mbox{P}_{\!\mbox{\tiny$2k\!+\!1$}}(a_{\mbox{\tiny$2k$}},\ a_{\mbox{\tiny$ 2k\!+\!1$}})\ \,に対して,\\[1mm] \quad\ \ \sum\limits_{i\,=\,1}^{2k+1} F(\mbox{P}_{\!\mbox{\tiny$i$}})\ の値を 求めなさい。解答欄には答だけを書きなさい。\\[1mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \ a,\hspace*{7pt}b,\hspace*{7pt}c$\hspace*{7pt}を \hspace*{.5pt}任\hspace*{.5pt}意\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}実\hspace* {.5pt}数\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt}る。\ 3\hspace*{3pt}点\hspace*{6pt}P$(\hspace*{1.2pt}a,\ b\hspace*{1.2pt})$\hspace* {1pt}, \hspace*{4.5pt}Q$(\hspace*{1.2pt}b,\ c\hspace*{1.2pt})$\hspace*{1pt}, % \hspace*{4.5pt}R$(\hspace*{1.2pt}a,\ c\hspace*{1.2pt})\hspace*{6pt}に\hspace* {1pt}対 \\ \quad\ \ して,\\[1mm]\hspace*{12.5zw} F(\mbox{P})\,+\,F(\mbox{Q})\hspace*{1pt}=\hspace*{1pt} F(\mbox{R}) \\[1mm] \quad\ \ が成り立つことを証明しなさい。\\[1.5mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,実数列\hspace*{6pt} a_{\mbox{\tiny 0}},\hspace*{5pt} a_{\mbox{\tiny 1}},\hspace*{5pt}\cdot\hspace*{1pt}\cdot\hspace*{1pt}\cdot\ ,\ a_{\mbox{\tiny$n$}}\ \,から作られた点\hspace*{5pt}\mbox{P}_{\!\mbox{\tiny 1}} (\hspace*{1pt}a_{\mbox{\tiny 0}},\ a_{\mbox{\tiny 1}}\hspace*{1pt})\,,\ \, \mbox{P}_{\!\mbox{\tiny 2}}(\hspace*{1pt}a_{\mbox{\tiny 1}},\ a_{\mbox{\tiny 2}}\hspace*{1pt})\,,\ \cdot\hspace*{1pt}\cdot\hspace*{1pt}\cdot \ , \\[1mm]\quad\ \ \mbox{P}_{\!\mbox{\tiny$n$}}(a_{\mbox{\tiny$n\!-\!1$}},\ a_{\mbox{\tiny$n$}})\hspace*{5pt} に対して値\ S=\sum\limits_{i\,=\,1}^n F(\mbox{P}_{\!\mbox{\tiny$i$}})\ を考える。\ a_{\mbox{\tiny 0}}\geqq 0,\ a_{\mbox{\tiny$n$}}<0 ならば,\ \,S$ \\[1mm]% \quad\ \ はこの実数列によらない一定の値であることを証明し,その値を求めなさい。 \end{document}