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解答作成者: 伊藤 愁一
入試情報
| 大学名 |
北海道大学 |
| 学科・方式 |
前期理系 |
| 年度 |
2006年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
理 ・ 医 ・ 歯 ・ 薬 ・ 工 ・ 農 ・ 獣医 ・ 水産
|
| カテゴリ |
ベクトル ・ いろいろな曲線
|
| 状態 |
   |
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\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}}
% math-italic の bold 体が使える．
% 指定は \mb． 例）\mb{y} : y の bold 体
\newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\def\Noteq{\mathrel{%
\setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}}
\newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}}
\newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}}
\def\labelenumi{(\theenumi)}
\def\theenumi{\arabic{enumi}}
\def\theenumii{\roman{enumii}}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
空間内に,~$3$ 点 $\mathrm{A}_{0}\,(1,\,0,\,0),~\mathrm{A}_{1}\,(1,\,1,\,0),~\mathrm{A}_{2}\,(1,\,0,\,1)$ を通る平面 $\alpha$ と,~ $3$ 点 $\mathrm{B}_{0}\,(2,\,0,\,0),~\mathrm{B}_{1}\,(2,\,1,\,0),~\mathrm{B}_{2}\,\left(\dfrac{\,5\,}{2},\,0,\,\dfrac{\,\ssqrt{3}\,}{2}\right)$を通る平面 $\beta$ を考える．
\begin{enumerate}
\item 空間の基本ベクトルを$\overrightarrow{\mathstrut {e}_{1}} =\,(1,\,0,\,0),~\overrightarrow{\mathstrut {e}_{2}} =\,(0,\,1,\,0),~\overrightarrow{\mathstrut {e}_{3}} =\,(0,\,0,\,1)$ とおくとき，ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{O}\mathrm{A}_{0}},~\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{1}},~\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{2}},~\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{O}\mathrm{B}_{0}},~\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{B}_{0}\mathrm{B}_{1}},~\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{B}_{0}\mathrm{B}_{2}},~$を $\overrightarrow{\mathstrut {e}_{1}},~\overrightarrow{\mathstrut {e}_{2}},~\overrightarrow{\mathstrut {e}_{3}}$ で表せ．ただし，O は空間の原点を表す．
\item 原点 O と $\alpha$ 上の点 P を通る直線が $\beta$ 上の点 $\mathrm{P}'$ も通っているとする．
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{OP}} &=& \overrightarrow{\mathstrut \mathrm{O}\mathrm{A}_{0}} + a\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{1}} + b \overrightarrow{\mathstrut \mathrm{A}_{0}\mathrm{A}_{2}}\\
\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{OP}'} &=& \overrightarrow{\mathstrut \mathrm{O}\mathrm{B}_{0}} + p\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{B}_{0}\mathrm{B}_{1}} + q \overrightarrow{\mathstrut \mathrm{B}_{0}\mathrm{B}_{2}}
\end{eqnarray*}
とおくとき，$a,b$ を $p,q$ で表せ．
\item 点 P が $\alpha$ 上の点 $\mathrm{A}_{0}$ を中心とする半径 $1$ の円 $C$ の周上を動くとき，点 $\mathrm{P}'$ が動いてできる図形 $C'$ の方程式を $(2)$ の $p,q$ で表し,~$C'$ が楕円であることを示せ．
\end{enumerate}
\end{document}
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