慶應義塾大学 理工学部 2003年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2003年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 4}} \\ $k\hspace*{5pt}を正の実数とする。\ x>\dfrac{1}{\,4\,}\ で定義された関数 \\[2mm] \hspace*{12.9zw} f(x)=\dfrac{k}{\,4x-1\,}-\dfrac{1}{\,x^2\,} \\[3.5mm] について,次の問に答えなさい。\\[1mm] (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,不等式\hspace*{4.5pt}f'(x)<0\hspace*{5pt}を\hspace* {5pt}k\hspace*{5pt}について解き,その解を\ \,k>g(x)\ \,と\hspace*{.5pt}す \hspace*{.5pt}る。こ\hspace*{1pt}の \\[1mm] \quad\ \ \,g(x)\ \,は\ \,x\hspace*{1pt}=\hspace*{3pt}\kobox{(ツ)}\hspace*{6pt} で\hspace*{.5pt}最\hspace*{.5pt}大\hspace*{.5pt}値\hspace*{6pt}m\hspace*{1pt} =\hspace*{3pt}\kobox{(テ)}\ \ を\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}る。\ \ し\hspace*{1.5pt}た\hspace*{1.5pt}が\hspace*{2pt}っ\hspace*{2pt}て,\\[1mm] \quad\ \ \, k>mのとき\ f(x)\ は単調に減少する。\\[1mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,k<m\ \,のとき,\ \ f(x)\ \,は単調に減少する部分と 単調に増加する部分を含む。\\[1mm] \quad\ \ f(x)\ \,が極小値0をとるのは\ x\hspace*{1pt}=\hspace*{2pt}\kobox{(ト)} \,,\ \, k\hspace*{1pt}=\hspace*{2pt}\kobox{(ナ)}\hspace*{6pt}の\hspace*{.5pt} と\hspace*{.5pt}き\hspace*{.5pt}で\hspace*{.5pt}あ\hspace*{.5pt}る。\\[1.5mm] \quad\ \ \, k=\kobox{(ナ)}\hspace*{5pt}のとき,\ \ f(x)\ \,は\ x\hspace*{1pt} =\hspace*{2pt}\kobox{(ニ)}\hspace*{5pt}で極大値をとる。\\[1.5mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,k<\hspace*{2pt}\kobox{(ナ)}\ の\hspace*{.5pt}と \hspace*{.5pt}き,領域\ \ \raisebox{.5pt}{$\{\,(x,\ y)\ |\ f(x)\leqq y\leqq 0\} $}\ \,の\hspace*{.5pt}面積\hspace*{.5pt}を\ \,S(k)\ \,と \\[1.5mm] \quad\ \ とおくと,\\[2mm] \hspace*{12.5zw} \lim\limits_{k\to 0} S(k)=\kobox{(ヌ)} \\[2mm] \quad\ \ である。$ \end{document}