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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2008年度 |
| 問No |
問4 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
ベクトル
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小)
\def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大)
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第４問}}(配点 \; 20)\\
四面体OABCにおいて，$\text{OA}=\text{OB}=\text{BC}=\sqrt{2},\,\text{OC}=\text{CA}=\text{AB}=\sqrt{3}$である。\\$\vec{a}=\Vec{OA},\,\vec{b}=\Vec{OB},\,\vec{c}=\Vec{OC}$とおく。
\begin{shomon}
$\vabs{\vec{a}-\vec{b}}^2=\FBA{ア}$であり，$\vns{a}{b}=\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}$である。\\
また，$\vns{b}{c}=\dfrac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}},\,\vns{c}{a}=\FBA{カ}$である。
\end{shomon}
\begin{shomon}
直線AB上の点Pを$\Vec{CP}\cdot\!\vec{a}=0$であるようにとると
\[\Vec{CP}=\frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}\vec{a}+\frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\vec{b}-\vec{c}\]
となり，点Pは線分ABを$1:\dfrac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}$に内分する。また，$\Vec{CP}\cdot\!\vec{b}=\FBA{ス}$であり，$\vabs{\Vec{CP}}=\dfrac{\sqrt{\FBA{セソ}}}{\FBA{タ}}$である。\\
\quad $\Vec{CP}$は三角形\FBA{チ}の各辺と垂直であるから，直線CPは三角形\FBAS{チ}を含む平面に垂直である。ただし，\FBAS{チ}については，当てはまるものを，次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。
\vspace{4mm}
\NM{\nagamarurei}\quad ABC \H\qquad \NM{\nagamaruichi}\quad OBC \H\qquad \NM{\nagamaruni}\quad OAC \H\qquad \NM{\nagamarusan}\quad OAB
\vspace{4mm}
\quad 三角形\FBAS{チ}の面積は$\dfrac{\sqrt{\FBA{ツテ}}}{\FBA{ト}}$であるから，四面体OABCの体積は
$\dfrac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニヌ}}$である。
\end{shomon}
\end{document}
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