センター試験 数学Ⅱ・B 2008年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2008年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\vns#1#2{\vec{#1}\!\cdot\!\vec{#2}}%ベクトルの内積(小) \def\Vns#1#2{\Vec{#1}\cdot\Vec{#2}}%ベクトルの内積(大) \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ 四面体OABCにおいて,$\text{OA}=\text{OB}=\text{BC}=\sqrt{2},\,\text{OC}=\text{CA}=\text{AB}=\sqrt{3}$である。\\$\vec{a}=\Vec{OA},\,\vec{b}=\Vec{OB},\,\vec{c}=\Vec{OC}$とおく。 \begin{shomon} $\vabs{\vec{a}-\vec{b}}^2=\FBA{ア}$であり,$\vns{a}{b}=\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}$である。\\ また,$\vns{b}{c}=\dfrac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}},\,\vns{c}{a}=\FBA{カ}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 直線AB上の点Pを$\Vec{CP}\cdot\!\vec{a}=0$であるようにとると \[\Vec{CP}=\frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}\vec{a}+\frac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}\vec{b}-\vec{c}\] となり,点Pは線分ABを$1:\dfrac{\FBA{サ}}{\FBA{シ}}$に内分する。また,$\Vec{CP}\cdot\!\vec{b}=\FBA{ス}$であり,$\vabs{\Vec{CP}}=\dfrac{\sqrt{\FBA{セソ}}}{\FBA{タ}}$である。\\ \quad $\Vec{CP}$は三角形\FBA{チ}の各辺と垂直であるから,直線CPは三角形\FBAS{チ}を含む平面に垂直である。ただし,\FBAS{チ}については,当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarusan}のうちから一つ選べ。 \vspace{4mm} \NM{\nagamarurei}\quad ABC \H\qquad \NM{\nagamaruichi}\quad OBC \H\qquad \NM{\nagamaruni}\quad OAC \H\qquad \NM{\nagamarusan}\quad OAB \vspace{4mm} \quad 三角形\FBAS{チ}の面積は$\dfrac{\sqrt{\FBA{ツテ}}}{\FBA{ト}}$であるから,四面体OABCの体積は $\dfrac{\FBA{ナ}}{\FBA{ニヌ}}$である。 \end{shomon} \end{document}