センター試験 数学Ⅱ・B 2008年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2008年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ \begin{shomon} 数列$\CK{a_n}$は初項が$7$,公差が$-4$の等差数列とする。数列$\CK{a_n}$の一般項は \[a_n=\FBA{アイ}n+\FBA{ウエ}\] であり,初項から第$n$項までの和は \[\sum^n_{k=1}a_k=\FBA{オカ}n^2+\FBA{キ}n\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} 数列$\CK{b_n}$は,第$n$項が \[b_n=pn^2-qn-r\] という$n$の2次式で表され \[b_{n+1}-2b_n=\FBAS{オカ}n^2+\FBAS{キ}n\quad (n=1,2,3,\cdots )\Cdots\maruichi\] を満たすとする。このとき \[p=\FBA{ク},\,q=\FBA{ケ},\,r=\FBA{コ}\] であり,$b_1=\FBA{サシ}$である。\\ \quad さらに,次の条件によって定まる数列$\CK{c_n}$を考えよう。 \[c_1=1\] \[c_{n+1}-2c_n=\FBAS{オカ}n^2+\FBAS{キ}n\quad (n=1,2,3,\cdots )\Cdots\maruni\] \quad \mruichi と\mruni より,$d_n=c_n-b_n$とおくと \[d_{n+1}-\FBA{ス}d_n=0\quad (n=1,2,3,\cdots )\] が成り立つ。これより,数列$\CK{c_n}$の一般項は \[c_n=\FBA{セ}\cdot\FBA{ソ}\Shisu{n-1}+\FBAS{ク}n^2-\FBAS{ケ}n-\FBAS{コ}\] である。\\ \quad 数列$\CK{c_n}$の初項から第$n$項までの和$\sum^n_{k=1}c_k$は \[\FBA{タ}\cdot\FBA{チ}\Shisu{n}+\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}n^3-\frac{\FBA{ト}}{\FBA{ナ}}n^2-\frac{\FBA{ニヌ}}{\FBA{ネ}}n-\FBA{ノ}\] となる。 \end{shomon} \end{document}