センター試験 数学Ⅱ・B 2008年度 問2

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2008年度
問No 問2
学部
カテゴリ 微分法と積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第2問}}(配点 \; 30)\\ $a$を正の実数とし,$x$の2次関数$f(x),\,g(x)$を \[f(x)=\frac{1}{8}x^2\] \[g(x)=-x^2+3ax-2a^2\] とする。また,放物線$y=f(x)$および$y=g(x)$をそれぞれ$C_1,\,C_2$とする。 \begin{shomon} $C_1$と$C_2$の共有点をPとすると,点Pの座標は$\SK{\dfrac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}a,\,\dfrac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}a^2}$である。また,点Pにおける$C_1$の接線の方程式は \[y=\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}ax-\frac{\FBA{キ}}{\FBA{ク}}a^2\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $C_1$と$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形の面積は$\dfrac{\FBA{ケ}}{\FBA{コ}}$である。また,$C_2$と$x$軸の交点の$x$座標は\FBA{サ},\FBA{シス}であり,$C_2$と$x$軸で囲まれた図形の面積は $\dfrac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}a^3$である。 \end{shomon} \begin{shomon} $0 \leq x \leq 2$の範囲で,二つの放物線$C_1,\,C_2$と2直線$x=0,\,x=2$で囲まれた図形を$R$とする。$R$の中で,$y \geq 0$を満たすすべての部分の面積$S(a)$は \[0<a \leq \FBA{タ}のとき\quad S(a)=-\frac{\FBAS{セ}}{\FBAS{ソ}}a^3+\frac{\FBAS{ケ}}{\FBAS{コ}}\] \[\FBAS{タ}<a\leq\FBA{チ}のとき\] \[\H\H S(a)=-\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}}a^3+\FBA{ト}a^2-\FBA{ナ}a+\FBA{ニ}\] \[\FBAS{チ}<a のとき\quad S(a)=\frac{\FBAS{ケ}}{\FBAS{コ}}\] である。したがって,$a$が$a>0$の範囲を動くとき,$S(a)$は$a=\dfrac{\FBA{ヌ}}{\FBA{ネ}}$で最小値$\dfrac{\FBA{ノ}}{\FBA{ハヒ}}$をとる。 \end{shomon} \end{document}