センター試験 数学Ⅱ・B 2008年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2008年度
問No 問1
学部
カテゴリ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} 実数$x,\,y$は \[\h 3^{1+\log_{10}x}-5^y=1 \Cdots\asta\] を満たしている。このとき \[\h K=\frac{5^y}{3}+3^{-\log_{10}x}\] の最小値を求めよう。\\ \quad 真数の条件により$x>\FBA{ア}$である。ただし,対数$\log_ab$に対し,$a$を底といい,$b$を真数という。次に,$\asta$より \[\h 5^y=\FBA{イ}\cdot 3^{\log_{10}x}-1\] である。$z=3^{\log_{10}x}$とおくと,$5^y>0$であるから,$z$のとり得る値の範囲は \[\h z>\frac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}\] となる。さらに \[\h K=z+\frac{\FBA{オ}}{z}-\frac{1}{\FBA{カ}}\] となるから,$K$は$z=\FBA{キ}$のとき,最小値$\dfrac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}$をとる。このとき,$x=\FBA{コ}$,$y=\log_{\;\FBD{サ}}\FBA{シ}$である。 \EK \vspace{2mm} \BK{\kagini} $a$を正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において,中心がOで,半径が1の円と半径が2の円をそれぞれ$C_1,\,C_2$とする。$\theta \geq 0$を満たす実数$\theta$に対して, 角$a\theta$の動径と$C_1$との交点をPとし,角$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{3}$の動径と$C_2$との交点をQとする。ここで,動径はOを中心とし,その始線は$x$軸の正の部分とする。 \EK \begin{shomon} $\theta=\pi$のとき,Qの座標は$\displaystyle \SK{\sqrt{\FBA{ス}},\,\FBA{セ}}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} 3点O,P,Qがこの順に一直線上にあるような最小の$\theta$の値は \[\frac{\FBA{ソ}}{\FBA{タ}a+\FBA{チ}}\pi\] である。$\theta$が \[0 \leq \theta \leq \frac{\FBAS{ソ}}{\FBAS{タ}a+\FBAS{チ}}\pi\] の範囲を動くとき,円$C_2$において点Qの軌跡を弧とする\ruby{扇}{おうぎ}形の面積は \[\frac{\FBA{ツ}}{\FBA{テ}a+\FBA{ト}}\pi\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} 線分PQの長さの2乗PQ$^2$は \[\FBA{ナ}-\FBA{ニ}\sin\SK{\frac{\FBA{ヌ}a+\FBA{ネ}}{\FBA{ノ}}\theta}\] である。 \end{shomon} \begin{shomon} $x$の関数$f(x)$を \[f(x)=\FBAS{ナ}-\FBAS{ニ}\sin\SK{\frac{\FBAS{ヌ}a+\FBAS{ネ}}{\FBAS{ノ}}x}\] とおき,$f(x)$の正の周期のうち最小のものが$4\pi$であるとすると,$a=\dfrac{\FBA{ハ}}{\FBA{ヒ}}$である。 \end{shomon} \end{document}