慶應義塾大学 理工学部 2003年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2003年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 数と式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 3}} \\ \noindent(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,$正\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}整\hspace* {1pt}数\hspace*{5pt}n\hspace*{5pt}の\hspace*{.5pt}正\hspace*{.5pt}の\hspace* {.5pt}約\hspace*{.5pt}数\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}個\hspace*{.5pt}数 \hspace*{.5pt}を\ d(\makebox[9pt][c]{$n$})\ で\hspace*{1pt}表\hspace*{1pt}す。 た\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}え\hspace*{1pt}ば,\ \ d(\makebox[9pt][c]{5})=2, \\[1mm] \quad\ \ d(\makebox[9pt][c]{6})\hspace*{1pt}=\hspace*{1pt}4\ \hspace*{1pt}であ り,\ \ d(\makebox[13pt][c]{32})\hspace*{1pt}=\hspace*{2pt}\kobox{(シ)}\,,\ \,d (\makebox[13pt][c]{72})\hspace*{1pt}=\hspace*{2pt}\kobox{(ス)}\ である。\\[1mm] \qquad\ \ 一般に,\ \ n\hspace*{4.5pt}が素数\hspace*{4.5pt}p\hspace*{4.5pt}の 累乗として\ n=p^{\hspace*{1pt}k}\hspace*{4pt}\paalen{k\hspace*{5pt}は正の整数} \hspace*{4pt}と表されると \\[1mm] \quad\ \ き,\ \ d(\makebox[9pt][c]{$n$})\hspace*{2pt}=\hspace*{3pt}\kobox {(セ)}\ である。上で求めた\ d(\makebox[13pt][c]{32})\ はこの例である。\\[1mm] \qquad\ \ 次に,\ \ n\ が2個の異なる素数\ p_1^{},\ p_2^{}\ と正の整数\ k_1^{}, \ k_2^{}\ を用いて\ n=p_1^{k_1^{}}p_2^{k_2^{}} \\[1mm] \quad\ \ と表されるとき,\ \ d(\makebox[9pt][c]{$n$})\hspace*{.5pt}=\hspace* {2.5pt}\kobox{(ソ)}\hspace*{5pt}である。上で求めた\ \,d(\makebox[13pt][c]{72}) \ \,はこの例で\\[1mm]\quad\ \ ある。\\[1mm] \qquad\ \ さらに,\ \ n\ が\ r\ 個の異なる素数\ p_1^{},\ p_2^{},\,\cdots \hspace*{.5pt},\ p_r^{}\ と正の整数\ k_1^{},\ k_2^{},\,\cdots\hspace*{.5pt},\ k_r^{} \\[1mm]\quad\ \ により\ n=p_1^{k_1^{}}p_2^{k_2^{}}\hspace*{.5pt}\cdots\ p_r^{k_r^{}}\,と素因数分解されるとき,\ \,d(\makebox[9pt][c]{$n$})\ を\ k_1^{}, \ k_2^{},\,\cdots\hspace*{.5pt},\ k_r^{} \\[1mm] \quad\ \ を用いて表すと\ d(\makebox[9pt][c]{$n$})\hspace*{1pt}=\hspace*{3pt} \kobox{(タ)}\hspace*{5pt}となる。\\[1mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \ d(\makebox[9pt][c]{$n$})\ \,が奇数であることは,\ \ n\hspace*{4.5pt}がある整数\hspace*{4.5pt}m\hspace*{4.5pt}を用いて\hspace* {4.5pt}n=m^2\hspace*{4.5pt}と表され \\[1mm] \quad\ \ ることと同値であることを証明し,それを\ \kobox{(チ)}\ に書きなさい。$ \end{document}