解答を見る
解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
慶應義塾大学 |
学科・方式 |
理工学部 |
年度 |
2003年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理工学部
|
カテゴリ |
確率 ・ 数列
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=132mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 2}} \\
東西方向と南北方向 \hspace*{1pt}$\paalen{東を\ \hspace*{1pt}x\ \hspace*{1pt}軸正方向,
北を\ \hspace*{1pt}y\ \hspace*{1pt}軸正方向とする}\ \hspace*{1pt}に大通りが\\[1mm]
あり,その交差点を原点とする。さらに,距離1の間隔で格子状に道路がある。\\[1mm]
時刻0で車が原点に南から進入してきたとする。この車は毎分距離1だけ進むと\\[1mm]
し,\hspace*{4.5pt}各交差点では直進,\hspace*{4.5pt}右折,\hspace*{4.5pt}
左折のいずれかを行うものとする。\hspace*{4pt}ただし,\hspace*{4.5pt}南の方\\[1mm]
角には曲がらないとし,\ \,各時刻\ 0,\,1,\,2,\ \cdots\ \paalen{分}\ で
交差点において可能な方角を\\[1mm]等確率で選びながら進むとする。このとき,次の
\ \,\raisebox{.5pt}{\small(カ)}\hspace*{3pt}~\hspace*{3pt}\raisebox{.5pt}
{\small(サ)}\ \,を求めなさい。た\\[1mm]だし,\ \ (ク),\ \ (コ),\ \ (サ)\ \ は
数と\ \,n\ \,だけを用いて表しなさい。\\[1mm]
\quad n\ \,を正の整数とする。時刻\ t=0,\,1,\,2,\hspace*{3pt}\cdots\hspace*{0pt}
,\hspace*{3pt}n\hspace*{-1pt}-\hspace*{-1pt}1\ \,のうち,ちょうど\ \,k\ \,回
西の\\[1mm]方角を選んで進んだとすると,時刻\ n\ で車は直線\ y\!+\!x
=\,\kobox{(カ)}\ 上にいる。\\[1mm]
\quad この車が時刻\ n\ で南から直線\ y\!+\!x=n\ 上に到達する確率を\ a_n\ とし,
西から\\[1mm]直線\hspace*{4.5pt} y\!+\!x=n\ 上に到達する確率を\ b_n\ とすると,
時刻\ n\ で直線\hspace*{4.5pt} y\!+\!x=n\ 上に\\[1mm]
到達する確率\ p_n\ は\ p_n=a_n+b_n\ である。\\[1.5mm]
\quad a_1^{}=b_1^{}=\dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}}{\,3\,}\,である。\ n\geqq 2 の
とき,\ \,確率a_n\,とb_n\,を\hspace*{-.5pt}そ\hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}ぞ
\hspace*{-.5pt}れa_{n-1}とb_{n-1}で表\\すと,\ \,a_n=b_n=\kobox{(キ)}\ となる。
したがって,\ \,n\geqq 1\ のとき\ p_n=\dfrac{\raisebox{-.3mm}{2}}{\,3\,}\!
\times\ \kobox{(ク)} \\[1mm]となる。\\[1mm]
\quad n\geqq 5\ のとき,この車が時刻\ t=2,\,3,\hspace*{3pt}\cdots\hspace*{0pt},
\hspace*{3pt}n\!-\!3\ のうち1回だけ西の方角を選 \\[1mm]
んで進み,時刻\ n\ で直線\ y\!+\!x=n\!-\!2\ 上にいる確率は \\[2mm]
\hspace*{7zw} \sum\limits_{t=2}^{n-3} a_t\!\times\!
\dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}}{\,3\,}\!\times\!\dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}}
{\,2\,}\!\times\!p\,\raisebox{-4pt}{\framebox[9mm][c]{\tiny(ケ)}}
\hspace*{3pt}=\hspace*{1pt}(n\!-\!4)\times\ \kobox{(コ)} \\[2mm]
となる。これより,時刻0で南から原点に進入してきた車が大通りの西\ \,\raisebox
{.7pt}{(\makebox[10mm][c]{$x<0$})}\\[1mm]を通ることなく時刻\ n\ (\makebox[10mm]
[c]{$n\geqq 4$})\ で初めて直線\ y\!+\!x=n\!-\!2\ 上に到達する確率は \\[2mm]
\hspace*{11zw} \dfrac{\,\kobox{(サ)}\,}{3}\times\ \kobox{(コ)}\
+\dfrac{2}{\ {3_{}}^n\,} \\[2mm]
となる。$
\end{document}