慶應義塾大学 理工学部 2003年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2003年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\framebox[12.5mm][c]{\small #1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 2}} \\ 東西方向と南北方向 \hspace*{1pt}$\paalen{東を\ \hspace*{1pt}x\ \hspace*{1pt}軸正方向, 北を\ \hspace*{1pt}y\ \hspace*{1pt}軸正方向とする}\ \hspace*{1pt}に大通りが\\[1mm] あり,その交差点を原点とする。さらに,距離1の間隔で格子状に道路がある。\\[1mm] 時刻0で車が原点に南から進入してきたとする。この車は毎分距離1だけ進むと\\[1mm] し,\hspace*{4.5pt}各交差点では直進,\hspace*{4.5pt}右折,\hspace*{4.5pt} 左折のいずれかを行うものとする。\hspace*{4pt}ただし,\hspace*{4.5pt}南の方\\[1mm] 角には曲がらないとし,\ \,各時刻\ 0,\,1,\,2,\ \cdots\ \paalen{分}\ で 交差点において可能な方角を\\[1mm]等確率で選びながら進むとする。このとき,次の \ \,\raisebox{.5pt}{\small(カ)}\hspace*{3pt}~\hspace*{3pt}\raisebox{.5pt} {\small(サ)}\ \,を求めなさい。た\\[1mm]だし,\ \ (ク),\ \ (コ),\ \ (サ)\ \ は 数と\ \,n\ \,だけを用いて表しなさい。\\[1mm] \quad n\ \,を正の整数とする。時刻\ t=0,\,1,\,2,\hspace*{3pt}\cdots\hspace*{0pt} ,\hspace*{3pt}n\hspace*{-1pt}-\hspace*{-1pt}1\ \,のうち,ちょうど\ \,k\ \,回 西の\\[1mm]方角を選んで進んだとすると,時刻\ n\ で車は直線\ y\!+\!x =\,\kobox{(カ)}\ 上にいる。\\[1mm] \quad この車が時刻\ n\ で南から直線\ y\!+\!x=n\ 上に到達する確率を\ a_n\ とし, 西から\\[1mm]直線\hspace*{4.5pt} y\!+\!x=n\ 上に到達する確率を\ b_n\ とすると, 時刻\ n\ で直線\hspace*{4.5pt} y\!+\!x=n\ 上に\\[1mm] 到達する確率\ p_n\ は\ p_n=a_n+b_n\ である。\\[1.5mm] \quad a_1^{}=b_1^{}=\dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}}{\,3\,}\,である。\ n\geqq 2 の とき,\ \,確率a_n\,とb_n\,を\hspace*{-.5pt}そ\hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}ぞ \hspace*{-.5pt}れa_{n-1}とb_{n-1}で表\\すと,\ \,a_n=b_n=\kobox{(キ)}\ となる。 したがって,\ \,n\geqq 1\ のとき\ p_n=\dfrac{\raisebox{-.3mm}{2}}{\,3\,}\! \times\ \kobox{(ク)} \\[1mm]となる。\\[1mm] \quad n\geqq 5\ のとき,この車が時刻\ t=2,\,3,\hspace*{3pt}\cdots\hspace*{0pt}, \hspace*{3pt}n\!-\!3\ のうち1回だけ西の方角を選 \\[1mm] んで進み,時刻\ n\ で直線\ y\!+\!x=n\!-\!2\ 上にいる確率は \\[2mm] \hspace*{7zw} \sum\limits_{t=2}^{n-3} a_t\!\times\! \dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}}{\,3\,}\!\times\!\dfrac{\raisebox{-.3mm}{1}} {\,2\,}\!\times\!p\,\raisebox{-4pt}{\framebox[9mm][c]{\tiny(ケ)}} \hspace*{3pt}=\hspace*{1pt}(n\!-\!4)\times\ \kobox{(コ)} \\[2mm] となる。これより,時刻0で南から原点に進入してきた車が大通りの西\ \,\raisebox {.7pt}{(\makebox[10mm][c]{$x<0$})}\\[1mm]を通ることなく時刻\ n\ (\makebox[10mm] [c]{$n\geqq 4$})\ で初めて直線\ y\!+\!x=n\!-\!2\ 上に到達する確率は \\[2mm] \hspace*{11zw} \dfrac{\,\kobox{(サ)}\,}{3}\times\ \kobox{(コ)}\ +\dfrac{2}{\ {3_{}}^n\,} \\[2mm] となる。$ \end{document}