センター試験 数学Ⅰ・A 2008年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅰ・A
年度 2008年度
問No 問3
学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 平面幾何
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 30)\\ $\sankaku$ABCにおいて,$\text{AB}=7,\,\text{BC}=4\sqrt{2},\,\Kaku{ABC}=\DO{45}$とする。また,$\sankaku$ABCの外接円の中心をOとする。\\ \quad このとき,$\text{CA}=\FBA{ア}$であり,外接円のOの半径は$\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}\sqrt{\FBA{エ}}$である。\\ \quad 外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点Dを$\text{CD}=\sqrt{10}$であるようにとる。\\$\Kaku{ADC}=\FBA{オカ}\Shisu{\circ}$であるから,$\text{AD}=x$とすると$x$は2次方程式 \[x^2-\FBA{キ}\sqrt{\FBA{ク}}x-\FBA{ケコ}=0 \] を満たす。$x>0$であるから$\text{AD}=\FBA{サ}\sqrt{\FBA{シ}}$となる。\\ \quad 下の\FBA{ス},\FBA{セ},\FBA{ツ}には,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarugo}のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。 \vspace{2mm} \quad \NM{\nagamarurei}\quad AC \qquad \NM{\nagamaruichi}\quad AD \qquad \NM{\nagamaruni}\quad AE \qquad \NM{\nagamarusan}\quad BA \qquad \NM{\nagamarushi}\quad CD \qquad \NM{\nagamarugo}\quad ED \vspace{2mm} 点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする。このとき,\\$\Kaku{CAE}=\Kaku{\FBA{ス}E}$であるから,$\sankaku$ACEと$\sankaku$D\FBA{セ}は相似である。これより \[\text{EA}=\frac{\FBA{ソ}}{\FBA{タ}}\sqrt{\FBA{チ}}\;\text{EC}\] である。また,$\text{EA}^2=\FBA{ツ}\cdot\text{EC}$である。したがって \[\text{EA}=\frac{\FBA{テト}}{\FBA{ナ}}\sqrt{\FBA{ニ}}\] であり,$\sankaku$ACEの面積は$\dfrac{\FBA{ヌネ}}{\FBA{ノ}}$である。 \end{document}