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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅰ・Ａ |
| 年度 |
2008年度 |
| 問No |
問3 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
図形と計量 ・ 平面幾何
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{\vphantom{b}#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
\def\Sankaku#1{\sankaku\text{#1}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第３問}}(配点 \; 30)\\
$\sankaku$ABCにおいて，$\text{AB}=7,\,\text{BC}=4\sqrt{2},\,\Kaku{ABC}=\DO{45}$とする。また，$\sankaku$ABCの外接円の中心をOとする。\\
\quad このとき，$\text{CA}=\FBA{ア}$であり，外接円のOの半径は$\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}\sqrt{\FBA{エ}}$である。\\
\quad 外接円O上の点Aを含まない弧BC上に点Dを$\text{CD}=\sqrt{10}$であるようにとる。\\$\Kaku{ADC}=\FBA{オカ}\Shisu{\circ}$であるから，$\text{AD}=x$とすると$x$は2次方程式
\[x^2-\FBA{キ}\sqrt{\FBA{ク}}x-\FBA{ケコ}=0 \]
を満たす。$x>0$であるから$\text{AD}=\FBA{サ}\sqrt{\FBA{シ}}$となる。\\
\quad 下の\FBA{ス}，\FBA{セ}，\FBA{ツ}には，次の\NM{\nagamarurei}～\NM{\nagamarugo}のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
\vspace{2mm}
\quad \NM{\nagamarurei}\quad AC \qquad \NM{\nagamaruichi}\quad AD \qquad \NM{\nagamaruni}\quad AE \qquad \NM{\nagamarusan}\quad BA \qquad \NM{\nagamarushi}\quad CD \qquad \NM{\nagamarugo}\quad ED
\vspace{2mm}
点Aにおける外接円Oの接線と辺DCの延長の交点をEとする。このとき，\\$\Kaku{CAE}=\Kaku{\FBA{ス}E}$であるから，$\sankaku$ACEと$\sankaku$D\FBA{セ}は相似である。これより
\[\text{EA}=\frac{\FBA{ソ}}{\FBA{タ}}\sqrt{\FBA{チ}}\;\text{EC}\]
である。また，$\text{EA}^2=\FBA{ツ}\cdot\text{EC}$である。したがって
\[\text{EA}=\frac{\FBA{テト}}{\FBA{ナ}}\sqrt{\FBA{ニ}}\]
であり，$\sankaku$ACEの面積は$\dfrac{\FBA{ヌネ}}{\FBA{ノ}}$である。
\end{document}
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