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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2009年度 |
| 問No |
問4 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
ベクトル
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値
\def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}}
%ベクトルの大きい絶対値
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
\def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整
\def\Yueni{\H\yueni\quad}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
\def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整
\def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第４問}}(配点 \; 20)\\
Oを原点とする座標空間における5点をA($0,\,0,\,1$)，B($1,\,0,\,0$)，C($0,\,2,\,0$)，D($-1,\,0,\,0$)，E($0,\,-2,\,0$)とする。ひし形BCDEを底面とする四角\ruby{錐}{すい}A$-$BCDEと，平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
\vspace{2mm}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,clip]{center2009-2b-4sankou.eps}
\end{center}
\vspace{2mm}
\begin{shomon}
$\Vec{BC}\cdot\Vec{BA}=\FBA{ア}$であり，三角形ABCの面積は$\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}$である。
\end{shomon}
\begin{shomon}
$\vec{u}=\Vec{BA},\,\vec{v}=\Vec{BE}$とおく。$0<a<1$とし，点B$_1$を線分BEを$a:(1-a)$に内分する点とすると，$\Vec{BB$_1$}=\FBA{エ}\vec{v}$である。点A$_1$を
\[\Vec{OA$_1$}=\Vec{OA}+\Vec{BB$_1$}\]
で定め，線分A$_1$B$_1$と線分AEが交わることを示そう。A$_1$B$_1$上の点Pは，$0 \leq b \leq 1$を満たす$b$を用いて
\[\Vec{OP}=\Vec{OB}+b\vec{u}+\FBAS{エ}\vec{v}\]
と表される。また，AE上の点Qは，$0 \leq c \leq 1$を満たす$c$を用いて
\[\Vec{OQ}=\Vec{OB}+\FBA{オ}\vec{u}+\SK{\FBA{カ}-c}\vec{v}\]
と表される。
\quad PとQは$b=\FBA{キ}=\FBA{クケ}+1$のとき一致するから，線分A$_1$B$_1$とAEは，AEを$\FBA{コ}:\SK{1-\FBAS{コ}}$に内分する点で交わることがわかる。この点をE$_1$とする。
\quad 点C$_1$を
\[\Vec{OC$_1$}=\Vec{OC}+\Vec{BB$_1$}\]
で定めると，同様に考えることにより，線分A$_1$C$_1$と線分ADも，ADを\\$\FBA{サ}:\SK{1-\FBAS{サ}}$に内分する点で交わることがわかる。この点をD$_1$とすると
\[\Vec{D$_1$E$_1$}=\FBA{シ}\Vec{DE}\]
であり，三角形A$_1$B$_1$C$_1$は三角形ABCと平行であるから，四角形B$_1$C$_1$D$_1$E$_1$の面積は
\[\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}\SK{\FBA{ソ}-\FBA{タ}^{\FBD{チ}}}\]
である。
\quad また
\[\vabs{\Vec{B$_1$D$_1$}}=\sqrt{\FBA{ツ}a^2-\FBA{テ}a+\FBA{ト}}\]
である。
\end{shomon}
\end{document}
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