センター試験 数学Ⅱ・B 2009年度 問4

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2009年度
問No 問4
学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{okumacro,waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\vabs#1{\labs{}\hspace{-2pt}#1\rabs{}} %ベクトルの絶対値 \def\Vabs#1{\labs{\vphantom{x^2_2}}\hspace{-2pt}#1\rabs{\vphantom{x^2_2}}} %ベクトルの大きい絶対値 \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1.3pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 \def\Yueni{\H\yueni\quad} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,\framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %箱につける指数の位置の調整 \def\GT#1{\quad[\textgt{#1}]} %答えのカッコと太字 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第4問}}(配点 \; 20)\\ Oを原点とする座標空間における5点をA($0,\,0,\,1$),B($1,\,0,\,0$),C($0,\,2,\,0$),D($-1,\,0,\,0$),E($0,\,-2,\,0$)とする。ひし形BCDEを底面とする四角\ruby{錐}{すい}A$-$BCDEと,平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。 \vspace{2mm} \begin{center} \includegraphics[width=8cm,clip]{center2009-2b-4sankou.eps} \end{center} \vspace{2mm} \begin{shomon} $\Vec{BC}\cdot\Vec{BA}=\FBA{ア}$であり,三角形ABCの面積は$\dfrac{\FBA{イ}}{\FBA{ウ}}$である。 \end{shomon} \begin{shomon} $\vec{u}=\Vec{BA},\,\vec{v}=\Vec{BE}$とおく。$0<a<1$とし,点B$_1$を線分BEを$a:(1-a)$に内分する点とすると,$\Vec{BB$_1$}=\FBA{エ}\vec{v}$である。点A$_1$を \[\Vec{OA$_1$}=\Vec{OA}+\Vec{BB$_1$}\] で定め,線分A$_1$B$_1$と線分AEが交わることを示そう。A$_1$B$_1$上の点Pは,$0 \leq b \leq 1$を満たす$b$を用いて \[\Vec{OP}=\Vec{OB}+b\vec{u}+\FBAS{エ}\vec{v}\] と表される。また,AE上の点Qは,$0 \leq c \leq 1$を満たす$c$を用いて \[\Vec{OQ}=\Vec{OB}+\FBA{オ}\vec{u}+\SK{\FBA{カ}-c}\vec{v}\] と表される。 \quad PとQは$b=\FBA{キ}=\FBA{クケ}+1$のとき一致するから,線分A$_1$B$_1$とAEは,AEを$\FBA{コ}:\SK{1-\FBAS{コ}}$に内分する点で交わることがわかる。この点をE$_1$とする。 \quad 点C$_1$を \[\Vec{OC$_1$}=\Vec{OC}+\Vec{BB$_1$}\] で定めると,同様に考えることにより,線分A$_1$C$_1$と線分ADも,ADを\\$\FBA{サ}:\SK{1-\FBAS{サ}}$に内分する点で交わることがわかる。この点をD$_1$とすると \[\Vec{D$_1$E$_1$}=\FBA{シ}\Vec{DE}\] であり,三角形A$_1$B$_1$C$_1$は三角形ABCと平行であるから,四角形B$_1$C$_1$D$_1$E$_1$の面積は \[\frac{\FBA{ス}}{\FBA{セ}}\SK{\FBA{ソ}-\FBA{タ}^{\FBD{チ}}}\] である。 \quad また \[\vabs{\Vec{B$_1$D$_1$}}=\sqrt{\FBA{ツ}a^2-\FBA{テ}a+\FBA{ト}}\] である。 \end{shomon} \end{document}