センター試験 数学Ⅱ・B 2009年度 問3

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2009年度
問No 問3
学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} \def\shisu#1{^{\raisebox{-1pt}{\scriptsize $#1$}}}%分母の指数の位置の調整 %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\, \framebox[1.2cm]{#1}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,\framebox[1.4cm]{#1}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,\framebox[1.8cm]{#1}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fboxsep=1pt \raisebox{3pt}{\framebox{\gt{#1}}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 \def\Shisu#1{^{\raisebox{4pt}{\scriptsize $#1$}}} %指数の位置の調整 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第3問}}(配点 \; 20)\\ $\CK{a_n}$を初項$a_1$が1で公比が$\dfrac{1}{3}$の等比数列とする。数列$\CK{a_n}$の偶数番目の項を取り出して,数列$\CK{b_n}$を$b_n=a_{2n}\;(n=1,2,3,\cdots)$で定める。$T_n=\sum^n_{k=1}b_k$とおく。\\ \begin{shomon} $\CK{b_n}$も等比数列であり,その初項は$\dfrac{\FBA{ア}}{\FBA{イ}}$,公比は $\dfrac{\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}$である。したがって \[T_n=\frac{\FBA{オ}}{\FBA{カ}}\SK{1-\frac{\FBA{キ}\Shisu{\hphantom{n}}}{\FBA{ク}\Shisu{n}}}\] である。また,積$b_1b_2\;\cdots\;b_n$を求めると \[b_1b_2\;\cdots\;b_n=\frac{\FBA{ケ}\Shisu{\hphantom{n^2}}}{\FBA{コ}\Shisu{n^2}}\] となる。 \end{shomon} \begin{shomon} 次に,数列$\CK{c_n}$を$c_n=2n \cdot b_n\;(n=1,2,3,\cdots)$で定め,$U_n=\sum^n_{k=1}c_k$とおく。 \[\FBA{サ}c_{n+1}-c_n=\FBA{シ}b_n\qquad(n=1,2,3,\cdots)\] が成り立つから \[\sum^n_{k=1}\SK{\FBAS{サ}c_{k+1}-c_k}=\FBAS{シ}T_n\Cdots\maruichi\] である。また,この左辺の和をまとめ直すと,$U_n,\,c_{n+1},\,c_1$を用いて \[\sum^n_{k=1}\SK{\FBAS{サ}c_{k+1}-c_k}=\FBA{ス}U_n+\FBA{セ}c_{n+1}-\FBA{ソ}c_1\Cdots\maruni\] と表される。 \quad\mruichi と \mruni より \[U_n=\frac{\FBA{タチ}}{\FBA{ツテ}}-\frac{\FBA{トナ}n+\FBA{ニヌ}}{\FBAS{ツテ}}\cdot\frac{1\Shisu{\hphantom{n}}}{\FBA{ネ}\Shisu{n}}\] となる。 \end{shomon} \end{document}