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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
| 大学名 |
センター試験 |
| 学科・方式 |
数学Ⅱ・Ｂ |
| 年度 |
2009年度 |
| 問No |
問2 |
| 学部 |
|
| カテゴリ |
図形と方程式 ・ 微分法と積分法
|
| 状態 |
   |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.2cm]{#1}}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.4cm]{#1}}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.8cm]{#1}}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fbox{\gt{#1}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第２問}}(配点 \; 30)\\
放物線$y=2x^2$を$C$，点($1,\,-2$)をAとする。
点Q($u,\,v$)に関して，点Aと対称な点をP($x,\,y$)とすると
\[u=\frac{x+\FBA{ア}}{\FBA{イ}},\,v=\frac{y-\FBA{ウ}}{\FBA{エ}}\]
が成り立つ。Qが$C$上を動くときの点Pの軌跡を$D$とすると，$D$は放物線
\[y=x^2+\FBA{オ}x+\FBA{カ}\]
である。
二つの放物線$C$と$D$の交点をRとSとする。ただし，$x$座標の小さい方をRとする。点R,\,Sの$x$座標はそれぞれ\FBA{キク}，\FBA{ケ}で，点R,\,Sにおける放物線$D$の接線の方程式はそれぞれ
\[y=\FBA{コ},\,y=\FBA{サ}x-\FBA{シ}\]
である。
Pを放物線$D$上の点とし，Pの$x$座標を$a$とおく。Pから$x$軸に引いた垂線と放物線$C$との交点をHとする。\FBAS{キク}$<a<$\FBAS{ケ}のとき，三角形PHRの面積$S(a)$は
\[S(a)=\frac{1}{\FBA{ス}}\SK{\FBA{セ}a^3+a^2+\FBA{ソ}a+\FBA{タ}}\]
と表される。$S(a)$は$a=\dfrac{\FBA{チ}}{\FBA{ツ}}$のとき，最大値をとる。
$a=\dfrac{\FBAS{チ}}{\FBAS{ツ}}$のとき，直線HRと放物線$D$の交点のうち，Rと異なる点の$x$座標は$\dfrac{\FBA{テ}}{\FBA{ト}}$である。このとき，$\dfrac{\FBAS{テ}}{\FBAS{ト}} \leq x \leq \dfrac{\FBAS{チ}}{\FBAS{ツ}}$の範囲で，放物線$D$と直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積は$\dfrac{\FBB{ナニヌ}}{\FBA{ネノ}}$である。
\end{document}
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