センター試験 数学Ⅱ・B 2009年度 問1

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解答作成者: 山田 慶太郎

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入試情報

大学名 センター試験
学科・方式 数学Ⅱ・B
年度 2009年度
問No 問1
学部
カテゴリ 図形と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek} \usepackage{waku,amsmath,ceo} \def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}} \def\RA{\rightarrow} \def\OL#1{\overline{#1}} \def\SK#1{\left(#1\right)} \def\CK#1{\left\{#1\right\}} \def\DK#1{\left[#1\right]} \def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots} \def\Kaku#1{\angle\text{#1}} \def\DO#1{{#1}^{\circ}} %注の環境 \def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}} %センター試験用のコマンド \def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠 \def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠 \def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠 \def\FBAS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.2cm]{#1}}\,} %1,2文字用細枠 \def\FBBS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.4cm]{#1}}\,} %3文字用細枠 \def\FBCS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.8cm]{#1}}\,} %4文字用細枠 \def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fbox{\gt{#1}}}} %添え字用太枠 \def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整 %カギ番号のリスト環境 \def\BK#1{\begin{list}{ #1}% {\setlength{\itemindent}{0.7zw} \setlength{\leftmargin}{1zw} \setlength{\rightmargin}{0zw} \setlength{\labelsep}{1zw} \setlength{\labelwidth}{1zw} \setlength{\itemsep}{0em} \setlength{\parsep}{0em} \setlength{\listparindent}{0zw} } \item } \def\EK{\end{list}} \topmargin=-15mm \textwidth=43zw \lineskip=4pt \lineskiplimit=4pt \begin{document} \h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\ \BK{\kagiichi} $x \geq 2,\,y \geq 2,\,8 \leq xy \leq 16$のとき,$z=\log_2\sqrt{x}+\log_2y$の最大値を求めよう。 \quad $s=\log_2x\,,\,t=\log_2y$とおくと,$s,\,t,\,s+t$のとり得る値の範囲はそれぞれ \[\h s \geq \FBA{ア},\,t \leq\FBAS{ア},\,\FBA{イ}\leq s+t \leq\FBA{ウ} \] となる。また \[\h z=\frac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}}s+t \] が成り立つから,$z$は$s=\FBA{カ},\,t=\FBA{キ}$のとき最大値$\dfrac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}$をとる。したがって,$z$は$x=\FBA{コ},\,y=\FBA{サ}$のとき最大値$\dfrac{\FBAS{ク}}{\FBAS{ケ}}$をとる。\\ \EK \BK{\kagini} $0 \leq \theta<2\pi$の範囲で \[\h 5\sin\theta-3\cos2\theta-3=0 \Cdots \asta \] を満たす$\theta$について考えよう。 \quad 方程式\asta を$\sin\theta$を用いて表すと \[\h \FBA{シ}\sin^2\theta+5\sin\theta-\FBA{ス}=0 \] となる。したがって,$-1 \leq \sin\theta \leq 1$より \[\h \sin\theta=\frac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}\] であり,$0 \leq \theta < 2\pi$の範囲でこの等式を満たす$\theta$のうち,小さい方を$\theta_1$,大きい方$\theta_2$とすると \[\h \cos\theta_1=\frac{\sqrt{\FBA{タ}}}{\FBAS{ソ}},\,\cos\theta_2=\frac{\FBA{チ}\sqrt{\FBAS{タ}}}{\FBAS{ソ}}\] である。 \quad $\theta_1$について不等式\FBA{ツ}が成り立つ。\FBAS{ツ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarugo}のうちから一つ選べ。 \vspace{2mm} \begin{align*} \h &\NM{\nagamarurei}\quad 0<\theta_1<\dfrac{\pi}{12} && \NM{\nagamaruichi}\quad \dfrac{\pi}{12}<\theta_1<\dfrac{\pi}{6} && \NM{\nagamaruni}\quad \dfrac{\pi}{6}<\theta_1<\dfrac{\pi}{5} \\ \h &\NM{\nagamarusan}\quad \frac{\pi}{5}<\theta_1<\dfrac{\pi}{4} && \NM{\nagamarushi}\quad \frac{\pi}{4}<\theta_1<\dfrac{\pi}{3} && \NM{\nagamarugo}\quad \frac{\pi}{3}<\theta_1<\dfrac{\pi}{2} \end{align*} \vspace{2mm} ただし,必要ならば次の値 \[\h \cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4},\,\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\] を用いてもよい。 \quad さらに,不等式$n\theta_1>\theta_2$を満たす自然数$n$のうち最小のものは\FBA{テ}である。 \EK \end{document}