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解答作成者: 山田 慶太郎
入試情報
大学名 |
センター試験 |
学科・方式 |
数学Ⅱ・B |
年度 |
2009年度 |
問No |
問1 |
学部 |
|
カテゴリ |
図形と方程式 ・ 三角関数 ・ 指数関数と対数関数
|
状態 |
 |
\documentclass[fleqn,11pt]{jsarticlek}
\usepackage{waku,amsmath,ceo}
\def\vec#1{\overrightarrow{\vphantom{b}{#1}}}
\def\RA{\rightarrow}
\def\OL#1{\overline{#1}}
\def\SK#1{\left(#1\right)}
\def\CK#1{\left\{#1\right\}}
\def\DK#1{\left[#1\right]}
\def\Cdots{\hfill\cdots\cdots\cdots}
\def\Kaku#1{\angle\text{#1}}
\def\DO#1{{#1}^{\circ}}
%注の環境
\def\Chu#1{{\par \leftskip=1zw \h\chu \quad{#1} \par}}
%センター試験用のコマンド
\def\FBA#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.2cm]{\gt{#1}}}\,} %1,2文字用太枠
\def\FBB#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.4cm]{\gt{#1}}}\,} %3文字用太枠
\def\FBC#1{\,{\fboxrule=1pt \framebox[1.8cm]{\gt{#1}}}\,} %4文字用太枠
\def\FBAS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.2cm]{#1}}\,} %1,2文字用細枠
\def\FBBS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.4cm]{#1}}\,} %3文字用細枠
\def\FBCS#1{\,{\fboxrule=0.4pt \framebox[1.8cm]{#1}}\,} %4文字用細枠
\def\FBD#1{{\fboxrule=1pt \fbox{\gt{#1}}}} %添え字用太枠
\def\NM#1{\makebox[1zw][c]{\raisebox{-1.2pt}{#1}}} %長丸番号の位置の調整
%カギ番号のリスト環境
\def\BK#1{\begin{list}{
#1}%
{\setlength{\itemindent}{0.7zw}
\setlength{\leftmargin}{1zw}
\setlength{\rightmargin}{0zw}
\setlength{\labelsep}{1zw}
\setlength{\labelwidth}{1zw}
\setlength{\itemsep}{0em}
\setlength{\parsep}{0em}
\setlength{\listparindent}{0zw}
}
\item }
\def\EK{\end{list}}
\topmargin=-15mm
\textwidth=43zw
\lineskip=4pt
\lineskiplimit=4pt
\begin{document}
\h{\large \gt{第1問}}(配点 \; 30)\\
\BK{\kagiichi}
$x \geq 2,\,y \geq 2,\,8 \leq xy \leq 16$のとき,$z=\log_2\sqrt{x}+\log_2y$の最大値を求めよう。
\quad $s=\log_2x\,,\,t=\log_2y$とおくと,$s,\,t,\,s+t$のとり得る値の範囲はそれぞれ
\[\h s \geq \FBA{ア},\,t \leq\FBAS{ア},\,\FBA{イ}\leq s+t \leq\FBA{ウ} \]
となる。また
\[\h z=\frac{\FBA{エ}}{\FBA{オ}}s+t \]
が成り立つから,$z$は$s=\FBA{カ},\,t=\FBA{キ}$のとき最大値$\dfrac{\FBA{ク}}{\FBA{ケ}}$をとる。したがって,$z$は$x=\FBA{コ},\,y=\FBA{サ}$のとき最大値$\dfrac{\FBAS{ク}}{\FBAS{ケ}}$をとる。\\
\EK
\BK{\kagini}
$0 \leq \theta<2\pi$の範囲で
\[\h 5\sin\theta-3\cos2\theta-3=0 \Cdots \asta \]
を満たす$\theta$について考えよう。
\quad 方程式\asta を$\sin\theta$を用いて表すと
\[\h \FBA{シ}\sin^2\theta+5\sin\theta-\FBA{ス}=0 \]
となる。したがって,$-1 \leq \sin\theta \leq 1$より
\[\h \sin\theta=\frac{\FBA{セ}}{\FBA{ソ}}\]
であり,$0 \leq \theta < 2\pi$の範囲でこの等式を満たす$\theta$のうち,小さい方を$\theta_1$,大きい方$\theta_2$とすると
\[\h \cos\theta_1=\frac{\sqrt{\FBA{タ}}}{\FBAS{ソ}},\,\cos\theta_2=\frac{\FBA{チ}\sqrt{\FBAS{タ}}}{\FBAS{ソ}}\]
である。
\quad $\theta_1$について不等式\FBA{ツ}が成り立つ。\FBAS{ツ}に当てはまるものを,次の\NM{\nagamarurei}~\NM{\nagamarugo}のうちから一つ選べ。
\vspace{2mm}
\begin{align*}
\h &\NM{\nagamarurei}\quad 0<\theta_1<\dfrac{\pi}{12} && \NM{\nagamaruichi}\quad \dfrac{\pi}{12}<\theta_1<\dfrac{\pi}{6} && \NM{\nagamaruni}\quad \dfrac{\pi}{6}<\theta_1<\dfrac{\pi}{5} \\
\h &\NM{\nagamarusan}\quad \frac{\pi}{5}<\theta_1<\dfrac{\pi}{4} && \NM{\nagamarushi}\quad \frac{\pi}{4}<\theta_1<\dfrac{\pi}{3} && \NM{\nagamarugo}\quad \frac{\pi}{3}<\theta_1<\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}
\vspace{2mm}
ただし,必要ならば次の値
\[\h \cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4},\,\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]
を用いてもよい。
\quad さらに,不等式$n\theta_1>\theta_2$を満たす自然数$n$のうち最小のものは\FBA{テ}である。
\EK
\end{document}