東京工業大学 前期 2004年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2004年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=131mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[6mm][c] {\textbf{\Large#1}}} } \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\Nbr{2}\hspace*{6pt}\paalen{60点} \vspace*{10mm}\\ \quad 次の問いに答えよ。$\displaystyle \\[8mm] (1)\ \ f(x)\hspace*{.5pt},\ \,g(x)を連続な偶関数,\ \ mを正の整数とするとき,\\ [2mm]\hspace*{5zw} \int_0^{\hspace*{1pt}m\pi}\! f(\sin x)g(\cos x)\,dx =m\!\int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! f(\sin x)g(\cos x)\,dx \\[2mm] \quad を証明せよ。\\[8mm] (2)\ \ 正の整数m,\ \,nがm\pi\leqq n<(m+1)\pi\,を満たしているとき,\\[2mm] \makebox[20.3zw][r]{$\displaystyle\frac{m}{\ (\hspace*{1pt}m\hspace*{1pt} +\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt})\hspace*{1pt}\pi\,}\hspace*{-1pt} \int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! \frac{\sin x}{\ (\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt} +\hspace*{1pt}\cos^2 x\hspace*{1pt})^2\ }\,dx$} \leqq\! \int_0^{\hspace*{1pt}1}\! \frac{|\sin nx|}{\ (\hspace*{1pt}1 \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}\cos^2 nx\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[3mm] \hspace*{20.3zw} \leqq \frac{\,m\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}1\ }{m\pi} \hspace*{-1pt}\int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! \frac{\sin x}{\ (\hspace*{1pt}1 \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}\cos^2 x\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[2mm] \quad を証明せよ。\\[8mm] (3)\ \ 極限値 \\[2.5mm] \hspace*{5zw} \lim_{\mbox{\tiny$n\!\to\!\infty$}}\int_0^{\hspace*{1pt}1}\! \frac{|\sin nx|}{\ (\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt} +\hspace*{1pt}\cos^2 nx\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[3mm] \quad を求めよ。$ \end{document}