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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
東京工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2004年度 |
問No |
問2 |
学部 |
理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
|
カテゴリ |
関数と極限 ・ 積分法
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=131mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[6mm][c]
{\textbf{\Large#1}}} }
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-2zw}\Nbr{2}\hspace*{6pt}\paalen{60点} \vspace*{10mm}\\
\quad 次の問いに答えよ。$\displaystyle \\[8mm]
(1)\ \ f(x)\hspace*{.5pt},\ \,g(x)を連続な偶関数,\ \ mを正の整数とするとき,\\
[2mm]\hspace*{5zw} \int_0^{\hspace*{1pt}m\pi}\! f(\sin x)g(\cos x)\,dx
=m\!\int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! f(\sin x)g(\cos x)\,dx \\[2mm]
\quad を証明せよ。\\[8mm]
(2)\ \ 正の整数m,\ \,nがm\pi\leqq n<(m+1)\pi\,を満たしているとき,\\[2mm]
\makebox[20.3zw][r]{$\displaystyle\frac{m}{\ (\hspace*{1pt}m\hspace*{1pt}
+\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt})\hspace*{1pt}\pi\,}\hspace*{-1pt}
\int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! \frac{\sin x}{\ (\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt}
+\hspace*{1pt}\cos^2 x\hspace*{1pt})^2\ }\,dx$}
\leqq\! \int_0^{\hspace*{1pt}1}\! \frac{|\sin nx|}{\ (\hspace*{1pt}1
\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}\cos^2 nx\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[3mm]
\hspace*{20.3zw} \leqq \frac{\,m\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}1\ }{m\pi}
\hspace*{-1pt}\int_0^{\hspace*{1pt}\pi}\! \frac{\sin x}{\ (\hspace*{1pt}1
\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}\cos^2 x\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[2mm]
\quad を証明せよ。\\[8mm]
(3)\ \ 極限値 \\[2.5mm]
\hspace*{5zw} \lim_{\mbox{\tiny$n\!\to\!\infty$}}\int_0^{\hspace*{1pt}1}\!
\frac{|\sin nx|}{\ (\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt}
+\hspace*{1pt}\cos^2 nx\hspace*{1pt})^2\ }\,dx \\[3mm]
\quad を求めよ。$
\end{document}