慶應義塾大学 理工学部 2004年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2004年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \textheight=210mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\raisebox{.5pt} {\framebox[14mm][c]{\small#1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{B\ 1}} \vspace*{2mm}\\ 以下一般に,関数\ $y=f(x)\ \,の第\makebox[1.5zw][c]{$k$}次導関数を\ \, f^{(k)}(x)\ \,と表す。\ \,f^{(1)}(x)\ \,は \\[1mm] f'(x)\ \,を表している。また\ f^{(0)}(x)=f(x)\ とおく。\\[7mm] (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \, n\ を\makebox[1zw][c]{2}以上の整数とし,\ \ g(x)\ \,を\ x\ の\ n\ 次式とする。\ \,m\ \,を\ n\ より小さい \\[1mm] \quad\ \ 正の整数とするとき,\\[3mm] \hspace*{5.7zw} g^{(k)}(0)=0\ \ \ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ \3dots,\ m\!-\!1) \\[3mm] \quad\ \ ならば,\ \ g(x)\ \,は\ (n\!-\!m)\ 次式\ h(x)\ を用いて,\\[3mm] \hspace*{5.7zw} g(x)=h(x)x^m \\[3mm] \quad\ \ と表されることを証明し,それを\ \kobox{(チ)}\ に書きなさい。\\[3mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \, p\ を\makebox[1zw][c]{2}以上の整数とする。\ \, (2p-1)\ 次式\ f(x)\ \,で,条件 \\[3mm] \hspace*{5.7zw} (\makebox[1zw][c]{i})\ \ \, f(0)=1 \\[1mm] \hspace*{5.7zw} (\makebox[1zw][c]{ii})\ \ \, f^{(k)}(0)=0 \ \ \ (k=1,\ 2,\ \3dots,\ p\!-\!1) \\[1mm] \hspace*{5.7zw} (\makebox[1zw][c]{i\hspace*{-.8pt}i\hspace*{-.8pt}i})\ \ \, f^{(k)}(1)=0 \ \ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ \3dots,\ p\!-\!1) \\[3mm] \quad\ \ をみたすものを求めたい。まず\ \,g(x)=f(x+1)\ \,とおくと,条件\ \, \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{i\hspace*{-.8pt}i\hspace*{-.8pt}i})}\ \,より \\[1mm]\quad\ \ \,g^{(k)}(0)=0\ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ \3dots,\ p\!-\!1)\ \,と \hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る。そ\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}で,\ \ \, \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{1})}\ \ の結果を用い \\[1mm] \quad\ \ れば,\ \,f(x)=r(x)\hspace*{.5pt}(\hspace*{.5pt}x\!-\!1\hspace*{.5pt}) ^{\,p}\ \ \paalen{ここで\ r(x)\ \,は\ \,(\hspace*{.5pt}p-1\hspace*{.5pt})\ \, 次式}\ \,と表されること \\[1mm] \quad\ \ が\hspace*{1pt}わ\hspace*{1pt}か\hspace*{1pt}る。\ \,r(x)= a\raisebox{-2pt}{\tiny$p\!-\!1$}x\hspace*{.5pt}\raisebox{4pt}{\tiny$p\!-\!1$} +a\raisebox{-2pt}{\tiny$p\!-\!2$}x\hspace*{.5pt}\raisebox{4pt}{\tiny$p\!-\!2$} +\ \3dots\ +a\raisebox{-2pt}{\tiny 1}x+a\raisebox{-2pt}{\tiny 0}\ \,と\hspace* {1pt}お\hspace*{1pt}く。次\hspace*{1pt}に,\\[1mm] \quad\ \ 条件\hspace*{5pt}\raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{ii})}\hspace*{5pt} より\hspace*{4pt}(2p-2)\hspace*{4pt}次式\ f'(x)\hspace*{4.5pt}に\hspace*{4.5pt} \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{1})}\hspace*{4.5pt}の結果を用いれば,\\[3mm] \hspace*{5.5zw} f'(x)=(2p-1)\hspace*{1pt}a\raisebox{-1.5pt}{\tiny$p\!-\!1$} \hspace*{1pt}(x-1)\raisebox{5pt}{\tiny$p\!-\!1$}\times\kobox{(ツ)} \\[3mm] \quad\ \ がわかる。これらの式から,\ \,r(x)\ と\ r'(x)\ の関係式 \\[2mm] \hspace*{5.5zw} \kobox{(テ)}=(2p-1)\hspace*{1pt}a\raisebox{-1.5pt} {\tiny$p\!-\!1$}\times\kobox{(ツ)} \\[2mm] \quad\ \ が得られる。この関係式より,漸化式\ a\raisebox{-2pt}{\tiny$k$} =\kobox{(ト)}\times a\raisebox{-2pt}{\tiny$k\!-\!1$}\ \ (k=1,\ 2,\ \3dots, \\[1mm] \quad\ \ \, p\!-\!1)\ \,が導かれる。この漸化式と条件\hspace*{4.5pt} \raisebox{.5pt}{(\makebox[1zw][c]{i})}\hspace*{4.5pt}を用いて\ \, a\raisebox{-2pt}{\tiny$k$}=\,\kobox{(ナ)}\ \ \ (k= \\[1mm] \quad\ \ 0,\ 1,\ 2,\ \3dots,\ p\!-\!1)\ が得られる。以上で,\ \,r(x)\ したがって\ f(x)\ が求められた。$ \end{document}