慶應義塾大学 理工学部 2004年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2004年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \textheight=200mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\raisebox{.5pt} {\framebox[14mm][c]{\small#1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 3}} \vspace*{2mm}\\ 実数の閉区間\ \,$[\hspace*{.5pt}0,\ 1]=\{x\hspace*{1pt}|\hspace*{1pt}0\leqq x \leqq 1\}\ \,を定義域および値域とする関数 \\[4mm] \hspace*{5zw}\, f(x)\,=\begin{picture}(0,0) \put(1,5){\arc{4}{0}{1.4}}\path(3,5)(3,40)\put(5.1, 40){\arc{4}{-3.1}{-1.7}} \put(1,1){\arc{4}{-1.5}{0}}\path(3,1)(3,-35)\put(5.1,-35){\arc{4}{1.7}{3.1}} \end{picture}\ \begin{array}{l@{\hspace*{1.5zw}}l} 2x+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,} & \bigl(\hspace*{1pt}0\leqq x\leqq \dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,4\,}\ のとき\bigr) \\[4mm] -2x+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}}{\,2\,} & \bigl(\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\,4\,}\leqq x\leqq \dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}}{\,4\,}\ のとき\bigr) \\[4mm] 2x-\dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}}{\,2\,} & \bigl(\dfrac{\raisebox{-.5mm}{3}} {\,4\,}\leqq x\leqq 1\ のとき \bigr) \end{array} \\[4mm] を考える。この関数の2回の合成を\ f_2(x)=f(f(x))\,,\ \,また3回の合成を\ f_3(x) \hspace*{4pt}\\[1mm]\!=f(f_2(x))\,=f(f(f(x)))\ とする。\\[8mm] (\makebox[1zw][c]{1})\ \ \,x\ が閉区間\ \,[\hspace*{.5pt}0,\ 1\,]\ \,を動く とき,\ \ y=f_2(x)\ \,お\hspace*{.8pt}よ\hspace*{.8pt}び\ \,y=f_3(x)\ \,のグ \hspace*{.6pt}ラ\hspace*{.6pt}フ\hspace*{.6pt}の \\[1mm] \quad\ \ 概形をそれぞれ\ \kobox{(サ)}\ ,\ \,\kobox{(シ)}\ に描きなさい。\\[8mm] \quad さ\hspace*{.8pt}ら\hspace*{.8pt}に4以上の自然数\ \,n\ \,に\hspace*{1pt}対 \hspace*{1pt}し\hspace*{1pt}て,関数\ \,f(x)\ \,の\ \,n\ \,回\hspace*{1pt}の \hspace*{1pt}合\hspace*{1pt}成\hspace*{1pt}を\ \,f_n(x)\,=\\[1mm] f(f_{n-1}(x)) \ と\hspace*{.8pt}す\hspace*{.8pt}る。ま\hspace*{.8pt}た\ f_1(x)=f(x)\ と \hspace*{.8pt}お\hspace*{.8pt}く。いま閉区間\ \,[\hspace*{.5pt}0,\ 1]\ \,内の点 \ \,c\ \,を\\[1mm]ひとつ決め,順に値\ f_1(c),\hspace*{4pt} f_2(c),\hspace*{4pt} f_3(c),\hspace*{4pt}\3dots\3dots\ \,をみていく。このとき\ f_1(c)=c \\[1mm] であれば\ c\ を周期\makebox[1zw][c]{1}の点と呼ぶ。\ c\ が周期\makebox[1zw][c] {1}の点ではなく,かつ\ \,m\geqq 2\ \,として\\[1mm]m\ 回の合成でその値がはじめて \ c\ になるとき,つまり条件 \\[3mm]\hspace*{6zw} f_j(c)\not=c\ \ \ (j=1,\ 2,\ \3dots,\ m-1)\ \ かつ\ \ f_m(c)=c \\[3mm] がみたされるとき,\ \,c\ を周期\ m\ の点と呼ぶ。\\[8mm] (\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,閉区間\ \,[\hspace*{.5pt}0,\ 1]\ \,内の周期\makebox [1zw][c]{1}の点の個数は\ \kobox{(ス)}\ 個である。また周期\makebox[1zw][c]{2}の\\[1mm] \quad\ \ 点の個数は\ \kobox{(セ)}\ 個である。\\[5mm] (\makebox[1zw][c]{3})\ \ \ m\ を\makebox[1zw][c]{3}以上の奇数としたとき, 周\hspace*{.7pt}期\ m\ の\hspace*{.7pt}点\hspace*{.7pt}の\hspace*{.7pt}個 \hspace*{.7pt}数\hspace*{.7pt}を\hspace*{.7pt}求\hspace*{.7pt}め\hspace*{.7pt} て\ \,\kobox{(ソ)}\ \,に \\[1mm] \quad\ \ 記入し,さらにその答えを得た理由を\ \kobox{(タ)}\ に書きなさい。$ \end{document}