慶應義塾大学 理工学部 2004年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2004年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ ベクトル ・ 微分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \textheight=212mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic,emathP} \pagestyle{empty} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut\mathrm{\hspace*{.5pt}#1\hspace*{.5pt}}}} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\raisebox{.5pt} {\framebox[14mm][c]{\small#1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \newpage\noindent \hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 2}} \vspace*{2mm}\\ 座標空間において,$y軸を回転軸として\ xy\ 平面を\ \,\alpha\ \,\paalen{ラジアン} \ \,回転させて\\[1mm]得られる平面を\ H\ とおく。ただし,\ \ y<0\ である点\ (0,\ y,\ 0)\ から原点を見て反\\[1mm]時計回りの向きを正の向きとし,\ \ 0<\alpha<\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$\pi$}}{\ \raisebox{.2mm}{2}\ }\ とする。 そして,平面\ H\ と\ xz\ 平\\[.5mm]面が交わってできる直線を\hspace*{4.5pt}l \hspace*{4pt}と\hspace*{.7pt}す\hspace*{.7pt}る\ \paalen{下図参照}。\\[1mm] \quad xy\ 平面上に\ y=\sin^2 x$\ が描く曲線を考える。この曲線上の点 P\,$(x,\ y,\ 0)\ にお\\[1mm]ける接線の単位方向ベクトルで\ x\ 成分が正であるものを\ \Vec{\hspace*{1pt}PQ\hspace*{1pt}}\ とおく。このとき,\\[1mm] \Vec{\hspace*{1pt}PQ\hspace*{1pt}}\ の成分表示は\ x\ を用いると\ \Vec{\hspace*{1pt}PQ\hspace*{1pt}}=\Bigl(\,\kobox{(カ)}\ ,\ \,\kobox{(キ)}\ , \ \,0\,\Bigr)\ である。さ\\[1mm]らに,\ \ z$軸と平行で点 P を通る直線が平面\ $ H\ と交わる点を\ \mbox{P}'\ とし,\ \ z$軸と平行\\[1mm]で点 Q を通る直線が平面\ $ H\ と交わる点を\ \mbox{Q}'\ とする。こうして新たに得られる\\[1mm]ベクトル\ \Vec{\hspace*{1pt}P'Q'\hspace*{1pt}}\ は平面\ H\ 上にあるので,その成分表示は \hspace*{5pt}x\hspace*{4pt}と\hspace*{4pt}\alpha\hspace*{4pt}を用いると,\\[1mm] \Vec{\hspace*{1pt}P'Q'\hspace*{1pt}}=\Bigl(\,\kobox{(カ)}\ ,\ \, \kobox{(キ)}\ ,\ \,\kobox{(ク)}\,\Bigr)\ となる。\\[1mm] \quad 以上のように成分表示された2つのベクトル\ \Vec{PQ\hspace*{.5pt}}\hspace* {-1pt},\ \Vec{\hspace*{1pt}P'Q'\hspace*{1pt}}\ のなす角を\ \theta\ として\\[1mm] \sin\theta\ を\ x\ と\ \alpha\ を用いて表すと,\ \ \sin\theta=\kobox{(ケ)} \ である。よって,特に直線\ l \\[1mm]が\ (1,\ 0,\ \sqrt{6\,})\ を通るときの\ \theta\ のとり得る値の最小値は\ \kobox{(コ)}\ である。$ \\ \hspace*{15zw}\begin{picture}(100,200) \changeArrowHeadSize[24]{1.5} \put(1,-18){O} \put(47,102){$H$} \path(-44,-20)(132,60) \ArrowLine{(129.4, 58.8)}{(132,60)} \put(128,49){$x$} \path(-66,66)(27,-27) \ArrowLine{(-65,65)}{(-66,66)} \put(-70,54){$y$} \path(0,-38)(0,147) \ArrowLine{(0,144)}{(0,147)} \put(4,142){$z$} \put(28,18){\arc{21}{-1.5}{0}} \path(30.5, 27)(28.5, 28.5)(30.9, 29.4) \put(38,26){$\alpha$} \put(110,105){$l$} \allinethickness{.2pt} \dashline[20]{1.5}(-33,-33)(105,105) \end{picture} \end{document}