慶應義塾大学 理工学部 2004年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2004年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 微分法と積分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.5mm}\raisebox{.5pt} {\framebox[14mm][c]{\small#1}}} \def\ansbox#1{\setlength{\fboxsep}{1.5mm}\fbox{$#1$}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \begin{center} {\footnotesize\hspace*{1.1zw} 注\ \ 意\hspace*{1.6zw}問題 A\,1, \,A\,2, \,A\,3, \,B\,1 \,B\,2 の解答を,\textgt{解答用紙}の所定の欄に 記入しなさい。}\vspace*{2mm} \end{center}\setcounter{page}{2} \hspace*{-.8zw}{\Large\textbf{A\ 1}} \vspace*{2mm}\\ 底面の半径が$\ a\ で高さが\ b\ の直円柱\ A\ \,を考える。この直円柱\ A\ \,を座標 空間\\[1mm]内の2つの平面\ z=0\ と\ z=b\ との間に,そ\hspace*{.5pt}の\hspace* {.5pt}中\hspace*{.5pt}心\hspace*{.5pt}軸\hspace*{.5pt}がz軸\hspace*{1pt}と \hspace*{1pt}重\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る\hspace*{1pt}よ\hspace*{1pt}う \hspace*{1pt}に\hspace*{1pt}お\\[1mm]く。また\ x軸と点\ (0,\,a,\,b)\ を含む平面 を\ P\ とする。平面\ P\ で,この直円柱\ A \\[.7mm] を切ってできる2つの立体のうちで,点\ (\hspace*{1pt}0,\hspace*{2pt}\displaystyle \frac{\raisebox{-.5mm}{$a$}}{\,2\,},\hspace*{2pt}\frac{\raisebox{-.5mm}{$b$}} {\,4\,}\hspace*{1pt})\ を\hspace*{.8pt}含\hspace*{.8pt}む\hspace*{.8pt}方 \hspace*{.8pt}の\hspace*{.8pt}立\hspace*{.8pt}体\hspace*{.8pt}を\ B\ と\hspace* {.8pt}す\\[.8mm]る。\ \,t\ を条件\ 0\leqq t\leqq a\ をみたす実数とするとき, こ\hspace*{1pt}の\hspace*{1pt}立\hspace*{1pt}体\ B\ を\hspace*{1pt}平\hspace* {1pt}面\ y=t\ で\\[1mm]切ったときの切り口の面積\ S\,(t)\ は\ \kobox{(ア)}\ で ある。したがって,立体\ B\ の体\\[.5mm]積\ \ V=\int_0^{\hspace*{.5pt}a} S(t)\, dt\ \,は\ \kobox{(イ)}\ と\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}る。\\[1mm] \quad さらに,この立体\ B\ の側面\ \paalen{つまり,もともとは直円柱\ A\ の側面 であった部\\[1mm]分}\ \ の面積\ \,S_1\ \,は\ \,\kobox{(ウ)}\ \,で\hspace*{1pt} あ\hspace*{1pt}る。立\hspace*{1pt}体\ B\ の\hspace*{1pt}底\hspace*{1pt}面\ \, \paalen{す\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}わ\hspace*{1pt}ち,平\hspace*{1pt}面\ z\hspace*{1pt}=\hspace*{1pt}0 \hspace*{2pt}\\[1mm] の部分}\ \,の面積を\ S_2\ と \hspace*{1pt}す\hspace*{1pt}る。こ\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}で,\ \ S_1\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}S_2=3\pi\ \,\paalen{\pi\ \,は円周率}\ \,の条件の \\[1mm]のもとで,\ \ a\ と\ b\ を動かして立体\ B\ の体積\ V\ を最大にするには, \ \ a=\kobox{(エ)}\,, \\[1mm]\,b=\kobox{(オ)}\ と定めればよい。$ \end{document}