東京大学 理系 2009年度 問6

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入試情報

大学名 東京大学
学科・方式 理系
年度 2009年度
問No 問6
学部 理科一類 ・ 理科二類 ・ 理科三類
カテゴリ
状態 解答なし 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4j]{yasuda-book2} \usepackage[dvips]{graphicx,color} \usepackage[deluxe]{otf} \usepackage{amsmath,ceo} \begin{document} \lineskip =4pt \lineskiplimit =4pt 平面上の2点P,Qの距離を$d(\hen{P,Q})$と表すことにする.平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形 $\sankaku{\hen{A_1A_2A_3}}$がある.$\sankaku{\hen{A_1A_2A_3}}$の内部に3点$\hen{B_1,B_2,B_3}$を,$d(\hen{A}_n,\hen{B}_n)=1\;(n=1,2,3)$となるようにとる.また, $\H \vec{a_1}=\Vec{A$_1$A$_2$}$, $\vec{a_2}=\Vec{A$_2$A$_3$}$, $\vec{a_3}=\Vec{A$_3$A$_1$}$ $\H \vec{e_1}=\Vec{A$_1$B$_1$}$, $\vec{e_2}=\Vec{A$_2$B$_2$}$, $\vec{e_3}=\Vec{A$_3$B$_3$}$ とおく.$n=1,2,3$のそれぞれに対して,時刻0に$\hen{A}_n$を出発し,$\vec{e_n}$ の向きに速さ1で直進する点を考え,時刻$t$におけるその位置を$\hen{P}_n(t)$と表すことにする. \begin{shomonr} ある時刻$t$で$d(\hen{P}_1(t),\hen{P}_2(t))\leq 1$が成立した.ベクトル$\vec{e_1}-\vec{e_2}$と,ベクトル$\vec{a_1} $とのなす角度を$\theta$とおく.このとき$\abs{\sin \theta}\leq \dfrac{1}{1000}$となることを示せ. \end{shomonr} \begin{shomonr} 角度$\theta_1 ,\theta_2,\theta_3$を$ \;\theta_1=\kaku\hen{B}_1\hen{A}_1\hen{A}_2 ,\; \theta_2=\kaku\hen{B}_2\hen{A}_2\hen{A}_3 ,\; \theta_3=\kaku\hen{B}_3\hen{A}_3\hen{A}_1\; $ によって定義する.$\alpha$ を$0<\alpha <\dfrac{\pi }{2}$かつ$\sin \alpha =\dfrac{1}{1000}$をみたす実数とする.\kakkoichi と同じ仮定のもとで,$\theta_1+\theta_2$の値のとる範囲を$\alpha$を用いて表せ. \end{shomonr} \begin{shomonr} 時刻$t_1,t_2,t_3$のそれぞれにおいて,次が成立した. \[ d(\hen{P}_2(t_1),\hen{P}_3(t_1))\leq 1, \quad d(\hen{P}_3(t_2),\hen{P}_1(t_2))\leq 1, \] \[ d(\hen{P}_1(t_3),\hen{P}_2(t_3))\leq 1 \] このとき,時刻$T=\dfrac{1000}{\sqrt3}$において同時に \[ d(\hen{P}_1(T),\hen{O})\leq 3, d(\hen{P}_2(T),\hen{O})\leq 3, d(\hen{P}_3(T),\hen{O})\leq 3 \] が成立することを示せ. \H\includegraphics[width=3.5cm]{2009-toudai-ri6.eps} \end{shomonr}   \end{document}