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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
東京工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2005年度 |
問No |
問1 |
学部 |
理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
|
カテゴリ |
数列 ・ 積分法
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=130mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\setlength{\fboxrule}{.8pt}
\framebox[6mm][c]{\textbf{\Large#1}}} }
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-.5zw}\Nbr{1}\hspace*{6pt}\paalen{60点} $ \vspace*{8mm}\\
\qquad\,eを自然対数の底とし,数列\{a_n\}を次式で定義する。\displaystyle \\[1mm]
\hspace*{6zw} a_n=\int_1^{\hspace*{1pt}e} (\log x)^{\hspace*{1pt}n}
\hspace*{2pt}dx \ \ \ (n=1\,,\ 2\,,\ \cdots) \\[8mm]
\quad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ n\geqq 3のとき,次の漸化式を示せ。\\[1mm]
\hspace*{6zw} a_n=(n-1)(a_{n-2}-a_{n-1}) \\[8mm]
\quad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ n\geqq 1に対しa_n>a_{n+1}>0なることを示せ。\\
[8mm]\quad(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ n\geqq 2のとき,以下の不等式が成立する
ことを示せ。\vspace*{1mm}\\
\hspace*{6zw} a_{\hspace*{.5pt}2\hspace*{.5pt}n}^{}<\dfrac{\,3\ten 5\ten\ten
\ten(\hspace*{1pt}2\,n\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt})\,}
{4\ten 6\ten\ten\ten(\hspace*{1pt}2\,n\hspace*{1pt})}
(\hspace*{1pt}e\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}2\hspace*{1pt})
$
\end{document}