東京工業大学 前期 2005年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2005年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 数列 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=130mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\setlength{\fboxrule}{.8pt} \framebox[6mm][c]{\textbf{\Large#1}}} } \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-.5zw}\Nbr{1}\hspace*{6pt}\paalen{60点} $ \vspace*{8mm}\\ \qquad\,eを自然対数の底とし,数列\{a_n\}を次式で定義する。\displaystyle \\[1mm] \hspace*{6zw} a_n=\int_1^{\hspace*{1pt}e} (\log x)^{\hspace*{1pt}n} \hspace*{2pt}dx \ \ \ (n=1\,,\ 2\,,\ \cdots) \\[8mm] \quad(\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ n\geqq 3のとき,次の漸化式を示せ。\\[1mm] \hspace*{6zw} a_n=(n-1)(a_{n-2}-a_{n-1}) \\[8mm] \quad(\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ n\geqq 1に対しa_n>a_{n+1}>0なることを示せ。\\ [8mm]\quad(\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ n\geqq 2のとき,以下の不等式が成立する ことを示せ。\vspace*{1mm}\\ \hspace*{6zw} a_{\hspace*{.5pt}2\hspace*{.5pt}n}^{}<\dfrac{\,3\ten 5\ten\ten \ten(\hspace*{1pt}2\,n\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}1\hspace*{1pt})\,} {4\ten 6\ten\ten\ten(\hspace*{1pt}2\,n\hspace*{1pt})} (\hspace*{1pt}e\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}2\hspace*{1pt}) $ \end{document}