慶應義塾大学 理工学部 2005年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2005年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{B\,1}} \vspace*{2mm}\\ 2行2列の行列 $A=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr)\hspace*{1pt},\ \,B=\biggl(\hspace*{-3pt} \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array}\hspace*{-3pt} \biggr)\ を考える。\ A\ \,において,\ \ b\ と\ c \\ を入れかえた行列をA^T\hspace*{3pt}で表す。す\hspace*{1pt}な\hspace*{1pt}わ \hspace*{1pt}ち,\ \ A^T=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr)\ で\hspace*{1pt}あ\hspace*{1pt}る。同\hspace* {1pt}様\hspace*{1pt}に,\\ B^T=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{cc} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr)\,とおく。以\hspace*{-.5pt}下\hspace*{-.5pt} で,\ \,B\ はつねに\ \alpha\delta\!-\!\beta\gamma=1\ を\hspace{-.5pt}み\hspace* {-.5pt}た\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}も\hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}と \hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}る。\vspace*{5mm}\\ \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{1})} A^T=-A\ \,と\hspace*{.5pt}な\hspace* {.5pt}る\hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}め\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}必要十分 条件\hspace*{1pt}は\ \,A=\biggl(\hspace*{-2.5pt}\begin{array}{rc} 0 & b \\ -\hspace*{1pt}b & 0 \end{array}\hspace*{-2.5pt}\biggr)\ で\hspace*{1pt}あ \hspace*{1pt}る\hspace*{1pt}こ\hspace*{1pt}と\hspace*{1pt}を \\ \qquad 証明しなさい。\vspace*{5mm}\\ \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{2})} A=\biggl(\hspace*{-2pt}\begin{array} {rc} 0 & b \\ -\hspace*{1pt}b & 0 \end{array}\hspace*{-2pt}\biggr)\ のとき, すべての\ B\ に対して\ BAB^T=A\ となることを\\[1mm]\qquad 証明しなさい。\\[5mm] \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{3})} すべての\ B\ に対して\ BAB^T=A\ が成り立つならば,\ \,A=\biggl(\hspace*{-2.5pt}\begin{array}{rc} 0 & b \\ -\hspace*{1pt}b & 0 \end{array}\hspace*{-2.5pt}\biggr)\ で \\ \qquad あることを証明しなさい。$ \end{document}