慶應義塾大学 理工学部 2005年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2005年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.6mm}\framebox[14mm][c]{\small #1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,2}} \vspace*{2mm}\\ 点Pが数直線上の整数点\paalen{座標が整数である点}を次の規則にしたがって正の方 \\ [2mm]向に移動していく。\vspace*{7mm}\\ \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{1})}最初の時点での P の座標は0である \paalen{P は原点 O の上にある}。\vspace*{2mm}\\ \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{2})}ある時点での P の座標が $k$ のとき, 次の時点で P は座標 $k+1\ の点か,\displaystyle\\[1.5mm] \qquad または座標\ k+2\ の点のどちらかに,それぞれ\ \frac{\raisebox{-.3mm}{1}} {\,2\,}\ の確率で移動する。\\[7mm] \quad 正の整数nに対して,ある時点で\ \mbox{P}\ の座標がnとなる確率 \paalen{すなわち,\ \ \mbox{P}\ が座\\[2mm] 標nの点を飛びこえてしまわない確率}をp\hspace*{1pt}(n)で表す。たとえば,\ \ p\hspace*{1pt}(1)=\frac{\raisebox{-.3mm}{1}}{\,2\,}, \\[1.5mm] p\hspace*{1pt}(2)=\frac{\raisebox{-.3mm}{3}}{\,4\,},\ \,p\hspace*{1pt}(3) =\kobox{(カ)}\,,\ \,p\hspace*{1pt}(4)=\kobox{(キ)}\ である。すると,\ \ p\hspace*{1pt}(n)\ は漸化式 \\[2mm] p\hspace*{1pt}(n)=\kobox{(ク)}\ \,をみたす。したがって,\ \ p\hspace*{1pt}(n)\ をnの式で表すと\ \kobox{(ケ)}\ \,とな\\[2mm]り,\ \,\lim_{\mbox{\tiny$ n\!\!\to\!\!\infty$}} p\hspace*{1pt}(n)=\kobox{(コ)}\ である。$ \end{document}