慶應義塾大学 理工学部 2005年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2005年度
問No 問1
学部 理工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{\setlength{\fboxsep}{0.6mm}\framebox[14mm][c]{\small #1}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \begin{center} \parbox{33zw}{\scriptsize\makebox[6zw][l]{\hspace*{1zw}% \textgt{注\ \ \,意}}問題 \textbf{A\,1, \,A\,2, \,A\,3} については,空欄に当て はまるもの\paalen{数,\,式など}を \vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{6zw}\textgt{解答用紙}の所定の欄に記入しなさい。\vspace*{1.5mm}\\ \hspace*{6zw}問題 \textbf{B\,1, \,B\,2} の解答は,\textgt{解答用紙}の所定の 欄に記入しなさい。}\vspace*{3mm} \end{center} \setcounter{page}{2}\noindent\hspace*{-1zw}% {\LARGE\textbf{A\,1}} \vspace*{2mm}\\ 空間内の$xy平面上においてy\hspace*{0pt}=\hspace*{0pt}\displaystyle\log\frac{1} {\,\cos x\,}\,\Bigl(0\leqq x<\frac{\,\pi\,}{2}\Bigr)\ で表される曲線をC \\ [2.5mm]とする。\ \,C上の点\mbox{P}(x,\ y,\ 0)\ をとり,原点から\mbox{P}までの 曲線の長さをsとする。\\[2mm]空間内で\mbox{Pの真上に点 Q}\Bigl(\,x,\ y,\ \frac{\,e^s-e^{-s}\,}{2}\Bigr)\ をとる。\\[7mm] \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{1})} 曲線の長さ\ s\ を\ x\ の関数として\ s\,(x)\ で表す。\ \,\Bigl(\log\frac{1}{\,\cos x\,}\Bigr)'=\kobox{(ア)} \\[1mm] \qquad であり,またf(x)=\frac{\,1+\sin x\,}{\cos x}\ とおくと,\ \ \frac{\,f'(x)\,}{f(x)}=\kobox{(イ)}\ であるから,\\[1mm] \qquad s\,(x)=\kobox{(ウ)}\ となる。したがって,線分\ \mbox{PQ}\ の長さは\ x\ の関数\ g(x)\ と \\[2mm] \qquad なり,特に\ g\Bigl(\frac{\,\pi\,}{3}\Bigr)=\kobox{(エ)}\ である。\\[7mm] \makebox[3zw][l]{\,(\makebox[1zw][c]{2})} 点\mbox{P}からx軸へおろした垂線の足 を\ \mbox{R}(x,\ 0,\ 0)\ とし,\ \ \mbox{PQ と PR}\ を2辺 \\[2.5mm] \qquad とする長方形を\ 0\leqq x\leqq \frac{\,\raisebox{-.3mm}{$\pi$}\,}{3}\ の範囲で動かして立体をつくる。このとき,こ \\[2mm] \qquad の立体の体積は\ \kobox{(オ)}\ である。$ \end{document}