東京工業大学 前期 2006年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2006年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ ベクトル
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\ten{\begin{picture}(6,6) \put(3,3){\circle*{1.5}} \end{picture}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c] {\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}} \def\paalen#1{\makebox[4pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[4pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}\Nbr{4}\hspace*{9pt}\paalen{60点} $ \\[2mm]% \quad\ \ 空\hspace*{-.2pt}間\hspace*{-.2pt}内\hspace*{-.2pt}の\hspace*{-.2pt}四 \hspace*{-.2pt}面\hspace*{-.2pt}体\hspace*{1pt}A\hspace*{-.5pt}B\hspace*{-.5pt} C\hspace*{-1pt}D\hspace*{1pt}を\hspace*{-.2pt}考\hspace*{-.2pt}え\hspace* {-.2pt}る。辺\hspace*{.5pt}A\hspace*{-.5pt}B,\ B\hspace*{-.5pt}C,\ C\hspace* {-1pt}D,\ D\hspace*{-1pt}Aの\hspace*{-.2pt}中\hspace*{-.2pt}点\hspace*{-.2pt} を,そ\hspace*{-.2pt}れ\hspace*{-.2pt}ぞ\hspace*{-.2pt}れ \\[1.5mm] \ \ \, K,\ L,\ M,\ Nとする。\vspace*{8mm}\\ \ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \ 4\,\v{\,M\hspace*{-2pt}K\,}\makebox[9pt][c] {\ten}\v{\,L\hspace*{-.5pt}N\,}=|\hspace*{1pt}\v{\,AC\,}\hspace*{1pt}|^2 -|\hspace*{1pt}\v{\,B\hspace*{-1pt}D\,}\hspace*{1pt}|^2\,を示せ。ここに |\hspace*{1pt}\v{\,AC\,}\hspace*{1pt}|はベクトル\,\v{\,AC\,} \vspace*{1mm}\\ \quad\ \ の長さを表す。\vspace*{8mm}\\ \ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,四\hspace*{1.1pt}面\hspace*{1.1pt}体A\hspace* {-.5pt}B\hspace*{-.5pt}C\hspace*{-1pt}Dの\hspace*{1.4pt}す\hspace*{1.4pt}べ \hspace*{1.4pt}て\hspace*{1.4pt}の\hspace*{1.4pt}面\hspace*{1.4pt}が\hspace* {1.4pt}互\hspace*{1.4pt}い\hspace*{1.4pt}に\hspace*{1.4pt}合\hspace*{1.4pt}同 \hspace*{1.4pt}で\hspace*{1.4pt}あ\hspace*{1.4pt}る\hspace*{1.4pt}と\hspace* {1.4pt}す\hspace*{1.4pt}る。こ\hspace*{1.5pt}の\hspace*{1.5pt}と\hspace*{1.5pt} き \\[1.5mm]\qquad\ |\hspace*{1pt}\v{\,A\hspace*{-.5pt}C\,}\hspace*{1pt}| =|\hspace*{1pt}\v{\,B\hspace*{-1pt}D\,}\hspace*{1pt}|\,,\ \ |\hspace*{1pt}\v{\,B\hspace*{-.5pt}C\,}\hspace*{1pt}| =|\hspace*{1pt}\v{\,A\hspace*{-1pt}D\,}\hspace*{1pt}|\,,\ \ |\hspace*{1pt}\v{\,A\hspace*{-.5pt}B\,}\hspace*{1pt}|=|\hspace*{1pt} \v{\,C\hspace*{-1pt}D\,}\hspace*{1pt}|\ を示せ。\vspace*{8mm}\\ \ \ (\makebox[1.5mm][c]{3})\ \ 辺\hspace*{1pt}AC\hspace*{1pt}の中点を\hspace* {1pt}P\hspace*{1pt}とし,\ \ |\hspace*{1pt}\v{\,A\hspace*{-.5pt}B\,} \hspace*{1pt}|=\sqrt{\,3\,},\ \ |\hspace*{1pt}\v{\,B\hspace*{-.5pt}C\,}\hspace* {1pt}|=\sqrt{\,5\,},\ \ |\hspace*{1pt}\v{\,C\hspace*{-1.5pt}A\,}\hspace*{1pt}| =\sqrt{\,6\,}\,とす\\[1.5mm] \quad\ \ る。\ \raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{2})}\hspace*{-.5pt}の \hspace*{-.3pt}仮\hspace*{-.3pt}定\hspace*{-.3pt}の\hspace*{-.5pt}も\hspace* {-.5pt}と\hspace*{-.5pt}で,四\hspace*{-.5pt}面\hspace*{-.5pt}体P\hspace* {-1pt}K\hspace*{-1pt}L\hspace*{-1pt}Nの\hspace*{-.5pt}体\hspace*{-.5pt}積 \hspace*{-.5pt}を\hspace*{-.5pt}求\hspace*{-.5pt}め\hspace*{-.5pt}よ。$ \end{document}