早稲田大学 教育学部<理科系> 2006年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 教育学部<理科系>
年度 2006年度
問No 問3
学部 教育学部
カテゴリ ベクトル ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}} \def\nbr#1{\framebox[5mm][c]{\large #1}} \begin{document} \noindent\makebox[2.5zw][l]{\,\nbr{3}}$xy\ 平面上の\ \ \vec{0}\ \ でない2つの ベクトル\ \ \vec{a},\,\vec{b}\ \ に対し,原点\ O\ を始点として,\\[2mm] \hspace*{2.5zw} \vec{a}\,=\,\v{OA},\ \,\vec{b}\,=\,\v{OB}\ \ と\hspace*{.5pt}な る\hspace*{.5pt}よ\hspace*{.5pt}う\hspace*{.5pt}に\ 点\ \,A,\ B\ \,をとる。 線分\ OA\ から\ OB \vspace*{1mm}\\ \hspace*{2.5zw} まで反時計回りに計った角が\ \theta\ のとき\\[4mm]\hspace*{14zw} \bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}\,\bigr]\,=\,|\vec{a}||\vec{b}|\,\sin\theta \\[4mm] \hspace*{2.5zw} と定義する。\ \vec{a}=\vec{0}\ または\ \vec{b}=\vec{0}\ のとき は\ \,\bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}\,\bigr]\,=\,0\ \ と定める。\vspace*{6mm}\\ \makebox[4zw][l]{\quad\,(1)} 3つのベクトル\ \vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\ \,に 対して,等式 \vspace*{4mm}\\ \hspace*{13zw} \bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}+\vec{c}\,\bigr]\,=\,\bigl[\,\vec{a} ,\ \vec{b}\,\bigr]+\bigl[\,\vec{a},\ \vec{c}\,\bigr] \vspace*{4mm}\\ \hspace*{4zw} を示せ。\vspace*{5mm}\\ \makebox[4zw][l]{\quad\,(2)} 原点\ O\ を始点とするベクトル\ \,\vec{a}_n=(x_n,\ y_n)\ \,を \displaystyle \\[3mm] \hspace*{9zw} \vec{a}_1^{}\,=\,\biggl(1\hspace*{.5pt},\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \biggr)\,,\quad\,\vec{a}_2^{}\,=\,\biggl(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\ \frac{1- \sqrt{3}}{2}\biggr)\,, \\[2mm] \hspace*{9zw} \vec{a}_n\,=\,2\,\vec{a}_{n-\!1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\, \vec{a}_{n-\!2} \ \ \ (n\geqq 3) \vspace*{4mm}\\ \hspace*{4zw} によって定める。\vspace*{2mm}\\ \hspace*{4zw} さらに,\ \,n\geqq 1\ に対して\ \,r_n\,=\,\bigl[\,\vec{a}_n,\ \vec{a}_{n+1}\,\bigr]\ \,とする。\vspace*{6mm}\\ \makebox[6zw][r]{(i)\quad\,}\, r_1^{}\ を求めよ。\vspace*{3mm}\\ \makebox[6zw][r]{(ii)\quad\,} 無限級数\ \ \sum_{n=1}^\infty r_n\ \ の和を 求めよ。$ \end{document}