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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
早稲田大学 |
学科・方式 |
教育学部<理科系> |
年度 |
2006年度 |
問No |
問3 |
学部 |
教育学部
|
カテゴリ |
ベクトル ・ 関数と極限
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=136mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\v#1{\overrightarrow{\mathstrut #1}}
\def\nbr#1{\framebox[5mm][c]{\large #1}}
\begin{document}
\noindent\makebox[2.5zw][l]{\,\nbr{3}}$xy\ 平面上の\ \ \vec{0}\ \ でない2つの
ベクトル\ \ \vec{a},\,\vec{b}\ \ に対し,原点\ O\ を始点として,\\[2mm]
\hspace*{2.5zw} \vec{a}\,=\,\v{OA},\ \,\vec{b}\,=\,\v{OB}\ \ と\hspace*{.5pt}な
る\hspace*{.5pt}よ\hspace*{.5pt}う\hspace*{.5pt}に\ 点\ \,A,\ B\ \,をとる。
線分\ OA\ から\ OB \vspace*{1mm}\\
\hspace*{2.5zw} まで反時計回りに計った角が\ \theta\ のとき\\[4mm]\hspace*{14zw}
\bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}\,\bigr]\,=\,|\vec{a}||\vec{b}|\,\sin\theta \\[4mm]
\hspace*{2.5zw} と定義する。\ \vec{a}=\vec{0}\ または\ \vec{b}=\vec{0}\ のとき
は\ \,\bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}\,\bigr]\,=\,0\ \ と定める。\vspace*{6mm}\\
\makebox[4zw][l]{\quad\,(1)} 3つのベクトル\ \vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}\ \,に
対して,等式 \vspace*{4mm}\\
\hspace*{13zw} \bigl[\,\vec{a},\ \vec{b}+\vec{c}\,\bigr]\,=\,\bigl[\,\vec{a}
,\ \vec{b}\,\bigr]+\bigl[\,\vec{a},\ \vec{c}\,\bigr] \vspace*{4mm}\\
\hspace*{4zw} を示せ。\vspace*{5mm}\\
\makebox[4zw][l]{\quad\,(2)} 原点\ O\ を始点とするベクトル\ \,\vec{a}_n=(x_n,\
y_n)\ \,を \displaystyle \\[3mm]
\hspace*{9zw} \vec{a}_1^{}\,=\,\biggl(1\hspace*{.5pt},\ -\frac{1}{\sqrt{3}}
\biggr)\,,\quad\,\vec{a}_2^{}\,=\,\biggl(\frac{1+\sqrt{3}}{2},\ \frac{1-
\sqrt{3}}{2}\biggr)\,, \\[2mm]
\hspace*{9zw} \vec{a}_n\,=\,2\,\vec{a}_{n-\!1}-\frac{\sqrt{3}}{2}\,
\vec{a}_{n-\!2} \ \ \ (n\geqq 3) \vspace*{4mm}\\
\hspace*{4zw} によって定める。\vspace*{2mm}\\
\hspace*{4zw} さらに,\ \,n\geqq 1\ に対して\ \,r_n\,=\,\bigl[\,\vec{a}_n,\
\vec{a}_{n+1}\,\bigr]\ \,とする。\vspace*{6mm}\\
\makebox[6zw][r]{(i)\quad\,}\, r_1^{}\ を求めよ。\vspace*{3mm}\\
\makebox[6zw][r]{(ii)\quad\,} 無限級数\ \ \sum_{n=1}^\infty r_n\ \ の和を
求めよ。$
\end{document}