東北大学 前期理系 2007年度 問6

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期理系
年度 2007年度
問No 問6
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} $a>0$ に対し \[ I_{0} (a) = \int_{0}^{a} \sqrt{1+x}dx,~I_{n} (a) = \int_{0}^{a} x^{n} \sqrt{1+x}dx~~(n=1,2, \cdots) \] とおく. \begin{enumerate} \item $\displaystyle \lim_{a \to \infty} a^{-\frac{3}{\,2\,}} I_{0}(a)$ を求めよ. \item 漸化式 \[ I_{n} (a) = \dfrac{2}{\,3+2n\,} a^{n} (1+a)^{\frac{3}{2}} - \dfrac{2n}{\,3+2n\,}I_{n-1}(a)~~(n=1,2,\cdots) \] を示せ. \item 自然数 $n$ に対して,$\displaystyle \lim_{a \to \infty} a^{-\left( \frac{3}{\,2\,}+n \right)} I_{n}(a)$ を求めよ. \end{enumerate} \end{document}