慶應義塾大学 理工学部 2006年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2006年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 微分法の応用 ・ 積分法 ・ いろいろな曲線
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,4}} $\displaystyle \vspace*{4mm}\\ \makebox[3zw][l]{(\makebox[1zw][c]{1})} 積分 \vspace*{3mm}\\ \hspace*{9.5zw} \theta=\int_0^{\hspace*{.5pt}1-r} \frac{dt}{\sqrt{\hspace* {.5pt}1-t^2\,}\,}\qquad(\hspace*{1pt}0<r<1\hspace*{1pt}) \vspace*{3mm}\\ \qquad において,\ \ 1\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}r=\sin\,\alpha\ \,\Bigl( \hspace*{1pt}0<\alpha<\frac{\,\pi\,}{2}\hspace*{.5pt}\Bigr)\ と\hspace*{.5pt}お く\hspace*{.5pt}と,\ \ \theta=\alpha\ で\hspace*{.5pt}あ\hspace*{.5pt}る \hspace*{.5pt}こ\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}を\hspace*{.5pt}示 \\[1.5mm]% \qquad しなさい。\vspace*{6mm}\\ \makebox[3zw][l]{(\makebox[1zw][c]{2})} 関数 \vspace*{3mm}\\ \hspace*{9.5zw} r=1-\sin\,\theta \qquad \Bigl(\hspace*{1pt}0<\theta <\frac{\,\pi\,}{2}\hspace*{.5pt}\Bigr) \vspace*{3mm}\\ \qquad を極方程式とする座標平面上\ \paalen{x,\ y座標}\ の曲線を考える。 偏角\ \theta\ をもつ点\vspace*{1.5mm}\\ \qquad に\hspace*{.5pt}お\hspace*{.5pt}け\hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}接 \hspace*{.5pt}線\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}傾\hspace*{.5pt}き\ \,u\hspace* {.5pt}(\hspace*{1pt}\theta\hspace*{1pt})\hspace*{1pt}=\frac{\,dy\,}{dx}\ \,は, \ \ \theta\ を\hspace*{.5pt}用\hspace*{.5pt}い\hspace*{.5pt}て\hspace*{.5pt}表 \hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt}と\ \,u\hspace*{.5pt}(\hspace*{1pt}\theta\hspace* {1pt})\hspace*{1pt}=\,\kobox{(チ)}\\[1.5mm]\qquad となり,\\[3mm] \hspace*{9.5zw} \lim_{\theta\to+0} u\hspace*{.5pt}(\hspace*{1pt}\theta \hspace*{1pt})=\,\kobox{(ツ)}\,,\ \ \lim_{\theta\to\frac{\,\pi\,}{2}-0} u\hspace*{.5pt}(\hspace*{1pt}\theta\hspace*{1pt})=\,\kobox{(テ)} \\[3mm] \qquad である。\vspace*{6mm}\\ \raisebox{.5pt}{\makebox[3zw][l]{(\makebox[1zw][c]{3})}(\makebox[1zw][c]{2})} \ \,の曲線において,\ \ y座標が最大となる点を求め,曲線の概形を図示し \\[2mm] \qquad なさい。解答は計算も含めて解答欄に書きなさい。$ \end{document}