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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
早稲田大学 |
学科・方式 |
理工 |
年度 |
2006年度 |
問No |
問4 |
学部 |
基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
|
カテゴリ |
確率 ・ 三角関数
|
状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=136mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{#1}}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-2zw}\makebox[1.7zw][c]{[\textbf{I\hspace*{-1pt}V}]}\hspace*
{1.5zw}$xy$平面において原点Oから出発する動点Pが確率$p\ (\,0\leqq p\leqq 1\,)でx軸の
正方\\[.5mm]向と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向に,
確率\ 1-p\ で\ x\ 軸の正方向と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}
{6}$\ の角度をなす方向\\[.5mm]に進み,どちらの場合もOからの距離が\ 1\ である点
に到達するものとする。この到\\[.5mm]達点を\ A\ とする。さらに動点\ P\ について
以下の2通りの移動(イ),\ (ロ)を考える。\vspace*{3mm}\\
\quad\makebox[3zw][l]{(イ)}動点\ P\ が点\ A\ から出発し確率$p\ で\ x\ 軸の
正方向と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向\\
\qquad に,確率1-pでx軸の正方向と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm}
{$\pi$}}{6}$\,の角度をなす方向に進み,どちらの場合\vspace*{.5mm}\\
\qquad も\makebox[1.3zw][c]{A}からの距離が\makebox[1zw][c]{1}である点に到達する
ものとする。この到達点を\makebox[1.3zw][c]{B}\vspace*{.5mm}とする。\\
\quad\makebox[3zw][l]{(ロ)}動点\ P\ が点\ A\ から出発し確率\,$p\ で\ \Vec{OA}\
と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向に,確率\\ \qquad 1-p\
で\ \Vec{OA}\ と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{6}$\ の角度を
なす方向に進み,どちらの場合も\ A\ からの距離\\[.5mm]\qquad が\makebox[1zw][c]
{1}である点に到達するものとする。この到達点を\ C\ とする。\\[3mm]
以下の問に答えよ。\vspace*{3mm}\\
\makebox[3zw][l]{(1)}線分\ OB\ の長さの2乗の期待値\ $f(p)$\ を求めよ。\\[.5mm]%
\makebox[3zw][l]{(2)}線分\ OC\ の長さの2乗の期待値\ $g(p)\ を求めよ。\\[.5mm]%
\makebox[3zw][l]{(3)} |f(p)\ -\ g(p)|\ の最大値を求めよ。$
\end{document}