早稲田大学 理工 2006年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2006年度
問No 問4
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 確率 ・ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\Vec#1{\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{#1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\makebox[1.7zw][c]{[\textbf{I\hspace*{-1pt}V}]}\hspace* {1.5zw}$xy$平面において原点Oから出発する動点Pが確率$p\ (\,0\leqq p\leqq 1\,)でx軸の 正方\\[.5mm]向と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向に, 確率\ 1-p\ で\ x\ 軸の正方向と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}} {6}$\ の角度をなす方向\\[.5mm]に進み,どちらの場合もOからの距離が\ 1\ である点 に到達するものとする。この到\\[.5mm]達点を\ A\ とする。さらに動点\ P\ について 以下の2通りの移動(イ),\ (ロ)を考える。\vspace*{3mm}\\ \quad\makebox[3zw][l]{(イ)}動点\ P\ が点\ A\ から出発し確率$p\ で\ x\ 軸の 正方向と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向\\ \qquad に,確率1-pでx軸の正方向と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm} {$\pi$}}{6}$\,の角度をなす方向に進み,どちらの場合\vspace*{.5mm}\\ \qquad も\makebox[1.3zw][c]{A}からの距離が\makebox[1zw][c]{1}である点に到達する ものとする。この到達点を\makebox[1.3zw][c]{B}\vspace*{.5mm}とする。\\ \quad\makebox[3zw][l]{(ロ)}動点\ P\ が点\ A\ から出発し確率\,$p\ で\ \Vec{OA}\ と\ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{3}\ の角度をなす方向に,確率\\ \qquad 1-p\ で\ \Vec{OA}\ と\,-\hspace*{1pt}\dfrac{\raisebox{-.4mm}{$\pi$}}{6}$\ の角度を なす方向に進み,どちらの場合も\ A\ からの距離\\[.5mm]\qquad が\makebox[1zw][c] {1}である点に到達するものとする。この到達点を\ C\ とする。\\[3mm] 以下の問に答えよ。\vspace*{3mm}\\ \makebox[3zw][l]{(1)}線分\ OB\ の長さの2乗の期待値\ $f(p)$\ を求めよ。\\[.5mm]% \makebox[3zw][l]{(2)}線分\ OC\ の長さの2乗の期待値\ $g(p)\ を求めよ。\\[.5mm]% \makebox[3zw][l]{(3)} |f(p)\ -\ g(p)|\ の最大値を求めよ。$ \end{document}