慶應義塾大学 理工学部 2006年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2006年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 図形と計量 ・ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,3}} \vspace*{5mm}\\ \quad 座標平面の原点Oを中心とする単位円周上に3点A$\bigl(\hspace*{1pt}\cos\bigl( \alpha+\dfrac{\,\pi\,}{3}\bigr),\ \ \sin\bigl(\alpha+\dfrac{\,\pi\,}{3}\bigr) \hspace*{1pt}\bigr),$\vspace*{1mm}\\ B$\hspace*{1pt}(\hspace*{1pt}\cos(\alpha+\pi),\ \ \sin(\alpha+\pi)\hspace*{1pt} )$,\quad C$\bigl(\hspace*{1pt}\cos\bigl(\alpha+\dfrac{\,5\pi\,}{3}\bigr),\ \ \sin\bigl(\alpha+\dfrac{\,5\pi\,}{3}\bigr)\hspace*{1pt}\bigr)\ \,を\hspace* {.5pt}と\hspace*{.5pt}る\ \,\paalen{\hspace*{.5pt}次\hspace*{.5pt}ペ\hspace* {.5pt}ー\vspace*{1.5mm}\\ ジの図参照}。ただし,\ \ 0\leqq \alpha<\dfrac{\,\pi\,}{6}\ とする。以下,\ \ \paalen{\makebox[10pt][c]{サ}}\makebox[15pt][c]{~}\paalen{\makebox[10pt][c] {ス}}\hspace*{7pt}は\hspace*{5pt}\cos\alpha,\ \ \sin\alpha \\[2mm] を用いて,\ \ \paalen{\makebox[10pt][c]{セ}}\makebox[15pt][c]{~} \paalen{\makebox[10pt][c]{タ}}\ \,は\hspace*{4.5pt}\cos\alpha\hspace*{4.5pt}を 用いて記述しなさい。$ \vspace*{7mm}\\ \quad 線分\ AB\ と\ $y$\ 軸との交点を\ D,\ \ 線分\ BC\ と\ $y$\ 軸との交点を\ % E\ と\hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}と,線分\vspace*{2mm}\\ OD,\ \ 線分\ OE\ の長さ\hspace*{.5pt}は\hspace*{.5pt}そ\hspace*{.3pt}れ\hspace* {.5pt}ぞ\hspace*{.5pt}れ\ OD\hspace*{2pt}\raisebox{.5pt}{=\hspace*{2pt}$ \dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\ \kobox{(サ)}\ }$},\ \ OE\hspace*{2pt}\raisebox {.5pt}{=\hspace*{2pt}$\dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\ \kobox{(シ)}\ }$}\ で% \hspace*{.3pt}あ\hspace*{.3pt}る。\vspace*{2mm}\\ \quad この$xy$平面を含む座標空間において,正三角形\ ABC\ 内の各点から,$xy$平面 と\vspace*{2mm}\\垂直に,高さ\hspace*{.3pt}が\hspace*{.3pt}そ\hspace*{.3pt}% の\hspace*{.3pt}点\hspace*{.5pt}の\hspace*{3pt}$x$座標の絶対値で\hspace*{.3pt}% あ\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}線\hspace*{.3pt}分\hspace*{.3pt}を\hspace* {.3pt}立\hspace*{.3pt}て\hspace*{.3pt}て\hspace*{.3pt}得\hspace*{.3pt}ら% \hspace*{.3pt}れ\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}立体図形\hspace*{.3pt}を\\[2mm]% 考える。頂点\ A,\ \,B,\ \,C\ の上にある線分の最上点を\hspace*{.3pt}そ\hspace* {.3pt}れ\hspace*{.3pt}ぞ\hspace*{.3pt}れ\ F,\ \,G,\ \,H\ と\hspace*{.3pt}す% \hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}と,\vspace*{2mm}\\ 三角錐\ OADF\ の体積は\ $\dfrac{\,\raisebox{-.4mm}{OD}\,}{24}\times\bigl(\, \kobox{(ス)}\,\bigr)^{\!2}$,\ \ 四角錐\ OACHF\ の体積は\ \kobox{(セ)}\\[1.5mm]% となる。\vspace*{2mm}\\ \quad A,\ \,C,\ \,D,\ \,E,\ \,F,\ \,H\ を頂点にもつ五面体の体積は,これら2つ の錐体および三角\\[2mm]錐\ OCEH\ の体積の和であり,\ \raisebox{.7pt}{\kobox {(ソ)}}\ \,と\hspace*{.7pt}な\hspace*{.7pt}る。\,ま\hspace*{1pt}た,三\hspace* {.2pt}角\hspace*{.2pt}錐\ BDEG\ の\hspace*{.2pt}体\hspace*{.2pt}積\hspace* {.2pt}は\\[2mm]\,\kobox{(タ)}\hspace*{5pt}と\hspace*{.5pt}な\hspace*{.5pt}る。 \newpage\noindent\hspace*{10zw}\begin{picture}(100,110) \path(-100,0)(100,0) \path(95, -1.5)(100,0)(95, 1.5) \put(98,-8){$x$} \path(0,-100)(0,100) \path(-1.5, 95)(0,100)(1.5, 95) \put(-7,100){$y$} \put(0,0){\circle{150}} \put(76,-10){1} \put(0,0){\arc{16}{-1.22}{0}} \put(-10, -10.5){O} \put(7,9){$\alpha\!+\!\dfrac{\raisebox{-.6mm}{$\pi$}} {\hspace*{1.5pt}\raisebox{.3mm}{3}\hspace*{1.5pt}}$} \put(24,73){A} \put(-83,-17){B} \put(49,-66){C} \put(-9.5, 48.5){D} \put(-9.5, -48.5){E} \allinethickness{.5pt}% \path(0,0)(25.65, 70.48)(-73.86, -13.02)(0,0)(48.21, -57.45)(25.65, 70.48) \path(-73.86, -13.02)(48.21, -57.45) \end{picture} \end{document}