慶應義塾大学 理工学部 2006年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2006年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=135mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,2}} \vspace*{4mm}\\ \quad ある時点\ \paalen{\,0年目}\ で,同じ容量の2つの空の$\hspace*{-2.5pt} \overset{\mbox{\tiny たる}}{樽}\hspace*{-1pt}$\ A,\hspace*{6pt}B\ に新$\hspace* {-2pt}\overset{\mbox{\tiny み}}{味}\overset{\mbox{\tiny そ}}{噌}\hspace* {-2.5pt}$を一杯に入れ,\\[1mm]以後,1年経つごとに以下の操作を行う。ただし 味噌の量は自然には増減しないと\\[1mm]する。\\[4mm]% \hspace*{3zw}B\ の味噌を半分取り除き,A\ の味噌の半分を\ B\ に移す。さらに, A\ にはそ\\[1mm]\hspace*{3zw}の年の新味噌を入れ一杯にし,両樽ともよく混ぜる。 \\[4mm]% \quad 以下では,新味噌は0年物とし,$x年物の味噌が1年経過したものを\ (x\hspace* {-1pt}+\hspace*{-1pt}1)\ 年\\[1mm]物とする。また,\ \ x年物とy年物を同量ずつ混 ぜた味噌は\,\dfrac{\,x\hspace*{-1pt}+\hspace*{-1pt}y\,}{2}\,年物と呼ぶ。\\[4mm] \quad n$\ 年後に上記の操作を行った直後の\ A,\ \,B\ の味噌をそれぞれ\ $a_n\ 年物,\ \ b_n\ 年物と\\[1.5mm]表す。例えば\ \,(\hspace*{1pt}a_1^{}\hspace*{1pt} ,\ \ b_1^{})=\bigl(\dfrac{\raisebox{-.4mm}{1}}{\hspace*{3pt}2\hspace*{3pt}} \hspace*{1pt},\ \ 1\hspace*{1pt}\bigr),\ \ (a_2^{}\hspace*{1pt},\ \ b_2^{}) =\,\kobox{(カ)}\hspace*{4.5pt}と\hspace*{.6pt}な\hspace*{.6pt}る。\\[1mm] \quad 自然数\ n\ に対し,\ \ a_{n+1}\ を\ a_n\ で表すと\ a_{n+1}=\,\kobox{(キ)} \hspace*{4.5pt}と\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}り,数列\hspace*{5pt}\{a_n\} \hspace*{5pt}の\\[1.5mm]一般項は\ a_n=\,\kobox{(ク)}\hspace*{5.5pt}と\hspace* {.6pt}な\hspace*{.6pt}る。こ\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}式\hspace*{.3pt}を% \hspace*{.3pt}用\hspace*{.3pt}い\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}こ\hspace*{.3pt}% と\hspace*{.3pt}で,数列\hspace*{6pt}\{b_{\hspace*{.5pt}n}\}\hspace*{5pt}の 漸化式\\[1.5mm]b_{\hspace*{.5pt}n+1}=\kobox{(ケ)}\hspace*{5pt}を得る。ここで\ c_n=2^{\hspace*{.5pt}n}\hspace*{.5pt}(\hspace*{.5pt}b_n-3)\hspace*{6pt}とおき, 数列\hspace*{5pt}\{c_{\hspace*{.5pt}n}\}\hspace*{5pt}の一般項を\\[1.5mm] 求めることにより,数列\ \{b_{\hspace*{.5pt}n}\}\ の一般項は\hspace*{6pt} b_n=\kobox{(コ)}\hspace*{5pt}となることがわかる。$ \end{document}