早稲田大学 理工 2006年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 早稲田大学
学科・方式 理工
年度 2006年度
問No 問1
学部 基幹理工学部 ・ 創造理工学部 ・ 先進理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法の応用 ・ 積分法
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}\makebox[1.7zw][c]{[\textbf{I}]}\hspace*{1.5zw}$ n\ =\ 0,\ 1,\ 2,\ \,\cdots\ \ に対して,関数\ f_n(x)を \displaystyle \\[4mm] \hspace*{10.5zw} f_0(x)=e^x,\ \ f_{n+1}(x)=\int_0^x f_n(t)\,dt \\[4mm] によって定める。以下の問に答えよ。\vspace*{4mm}\\ \makebox[2.2zw][l]{(1)} n\geqq 1に対して \\[3mm]\hspace*{10zw} e^x=1+x+\frac{x^2}{2\hspace*{.5pt}!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(x-1)!}+f_n(x) \\ [3mm]\hspace*{2.2zw} を示せ。\vspace*{2mm}\\ \makebox[2.2zw][l]{(2)} n\geqq 1とする。\ \,x\geqq 0に対して,不等式 \\[3mm] \hspace*{14zw} 0\,\leqq\,f_n(x)\,\leqq\,\frac{x^n}{n\hspace*{.5pt}!}e^x \\ [3mm]\hspace*{2.2zw} を示せ。\vspace*{2mm}\\ \makebox[2.2zw][l]{(3)} \lim_{n\to\infty}\, f_n(1)\ を求めよ。$ \end{document}