慶應義塾大学 理工学部 2007年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2007年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,4}} $\displaystyle \\[4mm]% \makebox[2.7zw][l]{(\makebox[1zw][c]{1})}不定積分を計算して \\[2mm] \hspace*{9.5zw} \int\! x^2 e^x\,dx=\bigl(\,\kobox{(テ)}\,\bigr)e^x+C \quad\ \ \paalen{Cは積分定数} \\[2mm] \quad\ \ を得る。\\[5mm] \makebox[2.7zw][l]{(\makebox[1zw][c]{2})}座標空間内で,各時刻tにおいて2つの 動点(t,\,te^t,\,0)と(0,\,te^t,\,1)を結ぶ直線を\\[1mm]\quad\ \ 考える。 時刻tが0から2まで進むとき,この直線群が作る曲面とxy平面,\ \ yz平面,\\[1mm] \quad\ \ 平面y=2e^2\hspace*{1pt}によって囲まれる立体をDとする。\\[3mm] \qquad\ \ 平面z=a\ (0\leqq a\leqq 1)によるDの断面積をS(a)とするとき,\\[2mm] \hspace*{10zw} S(0)=\kobox{(ト)}\,,\qquad S(a)=S(0)\times\bigl(\, \kobox{(ナ)}\,\bigr) \\[2mm] \quad\ \ である。よって,\ \ Dの体積は\int_0^{\hspace*{1pt}1} S(a)\hspace*{1pt} da=\kobox{(ニ)}\ である。\\[2mm] \qquad\ \ 次に,立体Dをy軸のまわりに1回転させて得られる回転体Kの体積について考 \\[1mm]\quad\ \ える。\ y\!=\!f(x)\!=\!xe^x\ \raisebox{.5pt}{$(0\!\leqq\!x\! \leqq\!2)$}と\hspace*{-.5pt}お\hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}て,\ \ f^{-1}を \hspace*{1pt}f\hspace*{1pt}の\hspace*{-.8pt}逆\hspace*{-.8pt}関\hspace*{-.8pt}% 数\hspace*{-.8pt}と\hspace*{-.8pt}す\hspace*{-.8pt}る。こ\hspace*{-.8pt}の% \hspace*{-.8pt}と\hspace*{-.8pt}き,回\hspace*{-.8pt}転\hspace*{-.8pt}体\\[1mm] \quad\ \ Kの体積Vは \\[2mm] \hspace*{11zw} V=\pi\!\int_0^{\fboxsep=.5mm\fbox{(ヌ)}} dy +\pi\!\int_{\fboxsep=.5mm\fbox{(ヌ)}}^{2e^2}\{f^{-1}(y)\}^2 dy \\[2mm] \quad\ \ と\hspace*{-.5pt}表\hspace*{-.5pt}せ\hspace*{-.5pt}る。こ\hspace* {-.5pt}こ\hspace*{-.5pt}で,\ \ \raisebox{.5pt}{$x=f^{-1}(y)$}で\hspace*{-.5pt}% あ\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}こ\hspace*{-.5pt}と\hspace*{-.5pt}に\hspace* {.5pt}注\hspace*{-.5pt}意\hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}置% \hspace*{-.5pt}換\hspace*{-.5pt}積\hspace*{-.5pt}分\hspace*{-.5pt}法\hspace* {-.5pt}を\hspace*{-.5pt}適\hspace*{-.5pt}用\hspace*{-.5pt}し\hspace*{-.5pt}た% \hspace*{-.5pt}上\hspace*{-.5pt}で,\ \,\raisebox{.5pt}{(\makebox[8pt][c]{1})} \\[1mm]\quad\ \ の不定積分などを用いて,\ \ V=\kobox{(ネ)}\ を得る。$ \end{document}