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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
東京工業大学 |
学科・方式 |
前期 |
年度 |
2007年度 |
問No |
問4 |
学部 |
理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
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カテゴリ |
関数と極限 ・ 微分法 ・ 積分法の応用
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状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=132mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}}
\def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c]
{\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}}
\def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c]
{\raisebox{.7pt}{)}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-1zw}\Nbr{4}\hspace*{9pt}\paalen{70点} $ \\[9mm]%
\ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,整数n=0\,,\ \,1\,,\ \,2\,,\,\3dots\ と正数
a_{\hspace*{1pt}n}\,に対して\\[1.5mm]
\hspace*{12zw} f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{1pt}(x)=a_{\hspace*{1pt}n}\hspace*
{1pt}(x\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}n)(n\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}1\hspace*
{1pt}-\hspace*{1pt}x) \\[1.5mm]
\quad\ \ とおく.\ \ 2つの曲線y=f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{1pt}(x)とy=e^{-x}\,が
接するようなa_{\hspace*{1pt}n}\,を求めよ. \\[9mm]
\ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{.5pt}(x)\hspace*
{1pt}は\raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{1})}で定めたものとする.
\ \ y=f_{\hspace*{1pt}0}\hspace*{.5pt}(x)\hspace*{.5pt},\ \,y=e^{-x}\,とy軸で
囲まれる図\\[1.5mm]\quad\ \ 形の面積をS_0\hspace*{1pt},\ \ n\geqq 1に対し\
y=f_{\hspace*{.5pt}n-1}\hspace*{1pt}(x)\hspace*{1pt},\ \,y=f_{\hspace*{1pt}n}
\hspace*{1pt}(x)とy=e^{-x}\,で囲まれ\\[1.5mm]\quad\ \ る図形の面積をS_n\,と
おく.\ \ このとき \displaystyle \\[1.5mm]
\hspace*{13zw} \lim_{n\to\infty} (S_0+S_1+\3dots+S_n) \\[1.5mm]
\quad\ \ を求めよ. $
\end{document}