東京工業大学 前期 2007年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 前期
年度 2007年度
問No 問4
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 微分法 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=132mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c] {\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}} \def\paalen#1{\makebox[5pt][r]{\raisebox{.7pt}{(}}#1\makebox[5pt][c] {\raisebox{.7pt}{)}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}\Nbr{4}\hspace*{9pt}\paalen{70点} $ \\[9mm]% \ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ \,整数n=0\,,\ \,1\,,\ \,2\,,\,\3dots\ と正数 a_{\hspace*{1pt}n}\,に対して\\[1.5mm] \hspace*{12zw} f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{1pt}(x)=a_{\hspace*{1pt}n}\hspace* {1pt}(x\hspace*{1pt}-\hspace*{1pt}n)(n\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}1\hspace* {1pt}-\hspace*{1pt}x) \\[1.5mm] \quad\ \ とおく.\ \ 2つの曲線y=f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{1pt}(x)とy=e^{-x}\,が 接するようなa_{\hspace*{1pt}n}\,を求めよ. \\[9mm] \ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,f_{\hspace*{1pt}n}\hspace*{.5pt}(x)\hspace* {1pt}は\raisebox{.5pt}{(\makebox[1.5mm][c]{1})}で定めたものとする. \ \ y=f_{\hspace*{1pt}0}\hspace*{.5pt}(x)\hspace*{.5pt},\ \,y=e^{-x}\,とy軸で 囲まれる図\\[1.5mm]\quad\ \ 形の面積をS_0\hspace*{1pt},\ \ n\geqq 1に対し\ y=f_{\hspace*{.5pt}n-1}\hspace*{1pt}(x)\hspace*{1pt},\ \,y=f_{\hspace*{1pt}n} \hspace*{1pt}(x)とy=e^{-x}\,で囲まれ\\[1.5mm]\quad\ \ る図形の面積をS_n\,と おく.\ \ このとき \displaystyle \\[1.5mm] \hspace*{13zw} \lim_{n\to\infty} (S_0+S_1+\3dots+S_n) \\[1.5mm] \quad\ \ を求めよ. $ \end{document}