慶應義塾大学 理工学部 2007年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2007年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb,epic,eepic} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}% {\LARGE\textbf{A\,3}} \vspace*{5mm}\\ \ \ \,次\hspace*{-.5pt}ペ\hspace*{-.5pt}ー\hspace*{-.5pt}ジ\hspace*{-.5pt}の% \hspace*{-.5pt}図\hspace*{-.5pt}の\hspace*{-.5pt}よ\hspace*{-.5pt}う\hspace* {-.5pt}に,座\hspace*{-.5pt}標\hspace*{-.5pt}平\hspace*{-.5pt}面\hspace* {-.5pt}上\hspace*{-.5pt}に\hspace*{1pt}2\hspace*{1pt}点\hspace*{1pt}A$(1,\,0),\ {\mbox{B}\hspace*{-1pt}\biggl(\!\dfrac {\raisebox{-.5mm}{1}}{\,\raisebox{.2mm}{4}\,},\,\dfrac{\raisebox{-.5mm}{$ \sqrt{\hspace*{.5pt}3\hspace*{.5pt}}$}\hspace*{1pt}}{\raisebox{.2mm}{4}}\! \biggr)\hspace*{-1pt}が\hspace*{-.5pt}与\hspace*{-.5pt}え\hspace*{-.5pt}ら% \hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}る。\hspace* {3pt}ま\hspace*{-.5pt}た,}$\\[1.5mm]原\hspace*{-.5pt}点\hspace*{1pt}O\hspace* {1pt}を\hspace*{-.5pt}中\hspace*{-.5pt}心\hspace*{-.5pt}と\hspace*{-.5pt}し% \hspace*{-.5pt}た\hspace*{-.5pt}半\hspace*{-.5pt}径1の\hspace*{-.5pt}円\hspace* {-.5pt}周\hspace*{-.5pt}上\hspace*{-.5pt}に,$\angle$\hspace*{1pt}AOP\hspace* {0pt}が0以\hspace*{-.5pt}上$\dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{$\pi$}\,}{\raisebox{.2mm} {3}}$以\hspace*{-.5pt}下\hspace*{-.5pt}で\hspace*{-.5pt}あ\hspace*{-.5pt}る% \hspace*{-.5pt}よ\hspace*{-.5pt}う\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}点Pが% \hspace*{-.5pt}あ\hspace*{-.5pt}る。\\[1.5mm]% \ \ \,い\hspace*{-.5pt}ま,動\hspace*{-.5pt}点\hspace*{1pt}X\hspace*{1pt}が, 点\hspace*{1pt}A\hspace*{1pt}を\hspace*{-.5pt}出\hspace*{-.5pt}発\hspace* {-.5pt}し,円\hspace*{-.5pt}周\hspace*{-.5pt}に\hspace*{-.5pt}沿\hspace* {-.5pt}っ\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}反\hspace*{-.5pt}時\hspace*{-.5pt}計% \hspace*{-.5pt}回\hspace*{-.5pt}り\hspace*{-.5pt}に\hspace*{-.5pt}点\hspace* {1pt}P\hspace*{1pt}に\hspace*{-.5pt}至\hspace*{-.5pt}り,そ\hspace*{-.5pt}の% \hspace*{-.5pt}後\hspace*{-.5pt}線\hspace*{-.5pt}分\hspace*{1pt}PB\\[1mm]% に\hspace*{-.5pt}沿\hspace*{-.5pt}っ\hspace*{-.5pt}て\hspace*{-.5pt}点Bに% \hspace*{-.5pt}移\hspace*{-.5pt}動\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}る。た\hspace *{-.5pt}だ\hspace*{-.5pt}し,\hspace*{-1pt}円\hspace*{-.5pt}周\hspace*{-.5pt}% 上\hspace*{-.5pt}で\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}速\hspace*{-.5pt}さ\hspace* {1.5pt}1\hspace*{1pt}で\hspace*{-.5pt}移\hspace*{-.5pt}動\hspace*{-.5pt}し,% \hspace*{-1pt}線\hspace*{-.5pt}分\hspace*{1pt}PB\hspace*{1pt}上\hspace*{-.5pt}% で\hspace*{-.5pt}は\hspace*{-.5pt}速\hspace*{-.5pt}さ\hspace*{1pt}$k(k\!>\!0)\\ [1mm]で移動するものとする。\ \,\angle\hspace*{1pt}\mbox{POB}=\theta\,\Bigl(0\! \leqq\!\theta\!\leqq\!\dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{$\pi$}\,}{\raisebox{.2mm}{3}} \Bigr)とし,動点\mbox{\hspace*{1pt}X\hspace*{1pt}がA\hspace*{1pt}から\hspace* {1.5pt}B}へ至る所要時\\[1mm]間をf(\theta)とする。\\[5mm]% \makebox[2.8zw][l]{(\makebox[1zw][c]{1})}線分\mbox{PB}の長さを\cos\theta\,を 用いて表すと,\ \ \kobox{(セ)}\hspace*{3pt}となる。\\[1mm]\makebox[3zw][l] {(\makebox[1zw][c]{2})}\raisebox{.5pt}{$f(\theta)$}の導関数は \\[1.5mm]% \hspace*{13zw} f'(\theta)=-1+\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,\raisebox{.2mm} {$k$}\,}\!\times\kobox{(ソ)} \\[2mm]% \quad\ \ となる。\\[2mm]% \makebox[2.8zw][l]{(\makebox[1zw][c]{3})}\raisebox{.5pt}{$f(\theta)$}が\,\theta =\!\dfrac{\,\raisebox{-.5mm}{$\pi$}\,}{\raisebox{.2mm}{3}}\hspace*{.8pt}の% \hspace*{-.8pt}と\hspace*{-.8pt}き\hspace*{-.8pt}最\hspace*{-.8pt}小\hspace* {-.8pt}と\hspace*{-.8pt}な\hspace*{-.8pt}る\hspace*{-.8pt}た\hspace*{-.8pt}め% \hspace*{-.8pt}に\hspace*{-.8pt}は,\ \,{k\!\geqq\hspace*{0pt} \kobox{(タ)}\,と\hspace*{-.8pt}な\hspace*{-.8pt}る\hspace*{-.8pt}こ\hspace* {-.8pt}と\hspace*{-.8pt}が\hspace*{-.8pt}必\hspace*{-.8pt}要\hspace*{-.8pt}十% \hspace*{-.8pt}分\hspace*{-.8pt}で\hspace*{-.8pt}あ\hspace*{-.8pt}る。}\\[2mm] \makebox[2.8zw][l]{(\makebox[1zw][c]{4})}\angle\hspace*{1pt}\mbox{BPO}\hspace* {-1pt}=\hspace*{-1pt}\alpha\,と\hspace*{-.5pt}お\hspace*{-.5pt}く\hspace* {-.5pt}と\hspace*{-.5pt}き,\ \ \sin\alpha\,を\,\theta\,の\hspace*{-.5pt}式% \hspace*{-.5pt}で\hspace*{-.5pt}表\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}と,\ \ \sin\alpha=\kobox{(チ)}\ と\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}る。\\[1mm] \hspace*{2.7zw}また,\ \ 0\hspace*{-1pt}<\hspace*{-1pt}k\hspace*{-1pt} <{\fboxsep=.5mm\fbox{(タ)}}\,とするとき,\ \ \raisebox{.5pt}{$f(\theta)$}が最小 となるように\,\theta\,を選ぶと,\ \ \alpha\,とkの間 \\[1mm] \quad\ \ には,\ \ \kobox{(ツ)}\,という関係式が成立する。$ \newpage\noindent \qquad\begin{picture}(100,150) %\changeArrowHeadSize{2.5}% \path(-24,0)(150,0) \put(142,-10){$x$} %\ArrowLine{(142,0)}{(150,0)} \path(0,-24)(0,150) \put(-12,146){$y$} %\ArrowLine{(0,142)}{(0,150)} \put(142, -2.5){$\blacktriangleright$} \put(-4,144){$\blacktriangle$} \put(-13,-10){O} \put(0,0){\arc{240}{-1.57}{-.05}} \put(117.2, -10){1} \put(123, 2.5){A} \put(97,75){P} \put(-12,117){1} \put(4,68){B\small$ \Bigl(\hspace*{-1pt}\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ \raisebox{.3mm}{4}\ }, \hspace*{1pt} \dfrac{\raisebox{-.7mm}{$\sqrt{\hspace*{.5pt}3\hspace*{.5pt}} $}\,}{\raisebox{.3mm}{4}}\hspace*{-1pt}\Bigr)$} \put(13,14){$\theta$} \put(0,0){\arc{34}{-1.01}{-.66}} \allinethickness{.3pt} \dashline[20]{2}(95,73)(0,0)(31,51) \allinethickness{1.2pt}\put(0,0){\arc{240}{-.65}{0}} \path(31,51)(95,73) \end{picture} \end{document}