慶應義塾大学 理工学部 2007年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2007年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 関数と極限 ・ 行列と連立一次方程式
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=144mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \newpage\noindent\hspace*{-1zw}{\LARGE\textbf{A\,2}} $ \\[4mm]\hspace*{-.2zw}% \makebox[2.8zw][l]{(\makebox[1zw][c]{1})}2つの行列AとPを \\[1mm]\hspace*{13zw} A=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{c@{\ \ }c} a & b \\[1mm] c & d \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr),\quad P=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array} {c@{\ \ }c} 1 & 1 \\[1mm] 1 & k \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr) \\[1mm] \quad\,と\hspace*{-.5pt}す\hspace*{-.5pt}る。\hspace*{4pt}た\hspace* {-.5pt}だ\hspace*{-.5pt}し,\ \,a,\,b,\,kは\hspace*{-.5pt}い\hspace*{-.5pt}ず \hspace*{-.5pt}れ\hspace*{-.5pt}も\hspace*{-.5pt}実\hspace*{-.5pt}数\hspace* {-.5pt}で,\ \,b\!\neq\!0で\hspace*{-.5pt}あ\hspace*{-.5pt}り,\ \,{P\hspace* {1pt}は\hspace*{-.5pt}逆\hspace*{-.5pt}行\hspace*{-.5pt}列\hspace*{1pt}P^{-1}を \hspace*{-.5pt}も\hspace*{-.5pt}つ\hspace*{-.5pt}と\hspace*{-.5pt}す\hspace* {-.5pt}る。}\\ \quad\,このとき,\ \ \alpha\,と\,\beta\,を実数として \\[1mm] \hspace*{15zw} P^{-1}AP=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{c@{\ \ }c} \alpha & 0 \\[1.5mm] 0 & \beta \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr) \\[1.5mm] \quad\,と\hspace*{-.5pt}な\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}よ\hspace*{-.5pt}う \hspace*{-.5pt}に\hspace*{-.5pt}定\hspace*{-.5pt}数kの\hspace*{-.5pt}値\hspace* {-.5pt}を\hspace*{-.5pt}定\hspace*{-.5pt}め\hspace*{-.5pt}る\hspace*{-.5pt}と, \hspace*{5pt}k=\kobox{(キ)}\hspace*{3pt}で\hspace*{-.5pt}あ\hspace*{-.5pt}る。 ま\hspace*{-.5pt}た,\ \,\alpha\,と\,\beta\,をaとbを\hspace*{-.5pt}用\\[1mm] \quad\,い\hspace*{.5pt}て\hspace*{.5pt}表\hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt}と,\ \ \alpha\hspace*{1pt}=\hspace*{1pt}\kobox{(ク)}\,,\ \ \beta\hspace*{1pt}=\hspace* {1pt}\kobox{(ケ)}\ と\hspace*{.5pt}な\hspace*{.5pt}る。し\hspace*{.5pt}た \hspace*{.5pt}が\hspace*{1.5pt}っ\hspace*{1.5pt}て,行\hspace*{.5pt}列Aの\ n個 \hspace*{.5pt}の\\[1mm]\quad\,積A^n\hspace*{1pt}を \\[1mm] \hspace*{15zw} A^n=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{c@{\ \ }c} \raisebox{.5pt}{$\gamma$} & \delta \\[1.5mm] \delta & \raisebox{.5pt} {$\gamma$} \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr) \\[1.5mm] \quad\,とすると,\ \ a,\,b,\,nを用いて,\ \ \raisebox{.5pt}{$\gamma$} =\kobox{(コ)}\,,\ \ \delta=\kobox{(サ)}\ と表すことができる。\\[5mm] \makebox[2.8zw][l]{(\makebox[1zw][c]{2})}t\neq-\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}} {\,2\,}\hspace*{1pt}であるような実数tに対し,行列Aと,座標平面上の点\mbox{Q}_n (x_n,\ y_n),\ \,n=0, \\[1mm] \quad\, 1,\,2,\,\cdots\cdots\,を,\ \ x_0^{}=2,\ \,y_0^{}=0, \\[2mm] \hspace*{8zw} A=\biggl(\hspace*{-3pt}\begin{array}{c@{\ \ }c} 7t\hspace*{-1pt}+\!2 & 2t\hspace*{-1pt}+\!1 \\[1mm] 2t\hspace*{-1pt}+\!1 & 7t\hspace*{-1pt}+\!2 \end{array}\hspace*{-3pt}\biggr),\quad\ \biggl( \hspace*{-3.5pt}\begin{array}{c} x_n \\[1mm] y_n \end{array} \hspace*{-4pt}\biggr)\!=A\biggl(\hspace*{-3.5pt}\begin{array}{c} x_{n-1} \\[1mm] y_{n-1} \end{array}\hspace*{-4pt}\biggr),\ \, n\geqq 1 \\[1.5mm] \quad\,と定義する。このとき,すべてのnについてx_n\!>\!y_n\hspace*{1pt}を満たす tの値の範囲を不等式で\\[1mm]\quad\ 表すと,\ \ \kobox{(シ)}\ となる。この場合, \ \ n\!\to\!\infty\ としても点\mbox{Q}_n\hspace*{1pt}は原点には近づかない。\\ [1mm]\quad\ n\!\to\!\infty\ のときに点\mbox{Q}_n\hspace*{1pt}が原点に限りなく 近づくようなtの値の範囲を不等式で表すと,\\[1mm]\quad\ \kobox{(ス)}\ となる。$ \end{document}