慶應義塾大学 理工学部 2009年度 問4

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2009年度
問No 問4
学部 理工学部
カテゴリ 複素数と方程式 ・ 微分法と積分法 ・ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}{\LARGE\textbf{A\,4}} $ \\[4mm]\hspace*{-1zw}% a>0とする。このとき,\ \ 3次方程式 \displaystyle \\[3mm] \hspace*{15zw} \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}(x^3+3x)=a \\[3mm] \hspace*{-2zw} はただ一つの実数解x(a)\!>\!0をもつ。\ 正の数Rに対し,\ \, 0\!<\!a\!\leqq\!Rの範囲でaを動かすとき,\\[1.5mm]\hspace*{-2zw} 対応する実数解x(a)が整数となるようなaの個数をN(R)とする。\\[1.5mm] \hspace*{-1zw} N(R)=1となるようなRの範囲は\ \kobox{(ナ)}\leqq R<\kobox{(ニ)}\ である。\\[1.5mm]\hspace*{-1zw} x=u-\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,u\,}\,と \hspace*{.3pt}お\hspace*{.3pt}き,\ \ \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}(x^3+3x) をuで\hspace*{.3pt}表\hspace*{.3pt}す\hspace*{.3pt}と\ \kobox{(ヌ)}\ と\hspace* {.3pt}な\hspace*{.3pt}る。し\hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}が\hspace*{1pt}っ \hspace*{1pt}て,\ \ x(\makebox[8pt][c]{$a$})を\\[1.5mm]\hspace*{-2zw} aを使って表せば\\[3mm] \hspace*{5.7zw} x(a)=\sqrt[\uproot{2}\leftroot{-1}3]{\,\kobox{(ネ)}\,} -\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\sqrt[\uproot{2}\leftroot{-1}3] {\,\kobox{(ネ)}\,}\,} \qquad \Bigl(\,\kobox{(ネ)}>0\Bigr) \\[2mm] \hspace*{-2zw} となる。\\[1.5mm] \hspace*{-1zw} L=\!\lim_{R\to\infty}\! R^{-C}N(R)が\hspace*{.3pt}有\hspace* {.3pt}限\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}正\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}値 \hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt} は\ C=\kobox{(ノ)}\ の\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き\hspace*{.3pt}で\hspace* {.3pt}あ\hspace*{.3pt}り,そ\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き \\ [1.5mm]\hspace*{-2zw} L=\kobox{(ハ)}\ である。$ \end{document}