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解答作成者: 大塚 美紀生
入試情報
大学名 |
慶應義塾大学 |
学科・方式 |
理工学部 |
年度 |
2009年度 |
問No |
問4 |
学部 |
理工学部
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カテゴリ |
複素数と方程式 ・ 微分法と積分法 ・ 関数と極限
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状態 |
 |
\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle}
\textwidth=142mm \topmargin=-15mm
\usepackage{amsmath,amssymb}
\pagestyle{empty}
\def\kobox#1{{\fboxsep=0.7mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}}
\begin{document}
\noindent\hspace*{-2zw}{\LARGE\textbf{A\,4}} $ \\[4mm]\hspace*{-1zw}%
a>0とする。このとき,\ \ 3次方程式 \displaystyle \\[3mm]
\hspace*{15zw} \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}(x^3+3x)=a \\[3mm]
\hspace*{-2zw} はただ一つの実数解x(a)\!>\!0をもつ。\ 正の数Rに対し,\ \,
0\!<\!a\!\leqq\!Rの範囲でaを動かすとき,\\[1.5mm]\hspace*{-2zw}
対応する実数解x(a)が整数となるようなaの個数をN(R)とする。\\[1.5mm]
\hspace*{-1zw} N(R)=1となるようなRの範囲は\ \kobox{(ナ)}\leqq R<\kobox{(ニ)}\
である。\\[1.5mm]\hspace*{-1zw} x=u-\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,u\,}\,と
\hspace*{.3pt}お\hspace*{.3pt}き,\ \ \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,2\,}(x^3+3x)
をuで\hspace*{.3pt}表\hspace*{.3pt}す\hspace*{.3pt}と\ \kobox{(ヌ)}\ と\hspace*
{.3pt}な\hspace*{.3pt}る。し\hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}が\hspace*{1pt}っ
\hspace*{1pt}て,\ \ x(\makebox[8pt][c]{$a$})を\\[1.5mm]\hspace*{-2zw}
aを使って表せば\\[3mm]
\hspace*{5.7zw} x(a)=\sqrt[\uproot{2}\leftroot{-1}3]{\,\kobox{(ネ)}\,}
-\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\sqrt[\uproot{2}\leftroot{-1}3]
{\,\kobox{(ネ)}\,}\,} \qquad \Bigl(\,\kobox{(ネ)}>0\Bigr) \\[2mm]
\hspace*{-2zw} となる。\\[1.5mm]
\hspace*{-1zw} L=\!\lim_{R\to\infty}\! R^{-C}N(R)が\hspace*{.3pt}有\hspace*
{.3pt}限\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}正\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}値
\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}な\hspace*{.3pt}る\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}
は\ C=\kobox{(ノ)}\ の\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き\hspace*{.3pt}で\hspace*
{.3pt}あ\hspace*{.3pt}り,そ\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}と\hspace*{.3pt}き \\
[1.5mm]\hspace*{-2zw} L=\kobox{(ハ)}\ である。$
\end{document}