東北大学 前期理系 2008年度 問2

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解答作成者: 伊藤 愁一

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入試情報

大学名 東北大学
学科・方式 前期理系
年度 2008年度
問No 問2
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 農学部
カテゴリ 関数と極限
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[fleqn,12pt]{jsarticle} %\usepackage[dvips,dviout]{graphicx,color} \usepackage{ascmac,array,framed,wrapfig} \usepackage{enumerate,amssymb,amsmath} %\usepackage{picins} %\usepackage[noreplace]{otf} %\usepackage{bm} \newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath $ #1 $}} % math-italic の bold 体が使える. % 指定は \mb. 例)\mb{y} : y の bold 体 \newcommand{\MARU}[1]{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \def\Noteq{\mathrel{% \setbox0\hbox{=}\hbox{=}\llap{\hbox to\wd0{\hss$\backslash$\hss}}}} \newcommand{\ssqrt}[1]{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut #1}}} \newcommand{\Not}[1]{\ooalign{\hfil$\backslash$\hfil\crcr$#1$}} \def\labelenumi{(\theenumi)} \def\theenumi{\arabic{enumi}} \def\theenumii{\roman{enumii}} \pagestyle{empty} \begin{document} $n$ を $2$ 以上の自然数とする.平面上の $\triangle\mathrm{OA}_{1}\mathrm{A}_{2}$ は $\angle\mathrm{OA}_{2}\mathrm{A}_{1}=90^{\circ},~\mathrm{OA}_{1} =1,~\mathrm{A}_{1}\mathrm{A}_{2} =\dfrac{1}{\,\ssqrt{n}\,}$ をみたすとする.$\mathrm{A}_{2}$ から $\mathrm{OA}_{1}$ へ垂線をおろし,交点を $\mathrm{A}_{3}$ とする.$\mathrm{A}_{3}$ から $\mathrm{OA}_{2}$ へ垂線をおろし,交点を $\mathrm{A}_{4}$ とする.以下同様に,$k=4,5, \cdots$ について,$\mathrm{A}_{k}$ から $\mathrm{OA}_{k-1}$ へ垂線をおろし,交点を $\mathrm{A}_{k+1}$ として,順番に $\mathrm{A}_{5},~\mathrm{A}_{6},~\cdots$ を定める.$\overrightarrow{\mathstrut h_{k}} =\overrightarrow{\mathstrut \mathrm{A}_{k}\mathrm{A}}_{k+1}$ とおくとき,以下の問いに答えよ. \begin{enumerate} \item $k=1,2, \cdots$ のとき,ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut h}_{k}$ と $\overrightarrow{\mathstrut h}_{k+1}$ の内積 $\overrightarrow{\mathstrut h}_{k}\cdot\overrightarrow{\mathstrut h}_{k+1}$ を $n$ と $k$ で表せ. \item $\displaystyle S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \overrightarrow{\mathstrut h}_{k}\cdot\overrightarrow{\mathstrut h}_{k+1}$ とおくとき,極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n}$ を求めよ.ここで,自然数の底 $e$ について,~$\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n}$ であることを用いてもよい. \end{enumerate} \end{document}