慶應義塾大学 理工学部 2009年度 問3

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2009年度
問No 問3
学部 理工学部
カテゴリ 微分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}% {\LARGE\textbf{A\hspace*{3.5pt}3}} $ \\[4mm]\hspace*{-1zw}% a\,\mbox{\large$>$}\,1とする。\ xy平面上において点\raisebox{.5pt}{$(a,\ a)$}を 中心とする半径rの円(x-a)^2+(y-a)^2=r^2 \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} を考える。 この円が曲線C:xy=1\ (x>0)に接するのは,半径rがどのような値のときで \\[1.5mm] \hspace*{-2zw} あるかを調べてみよう。この半径rの円が曲線Cと接するとき,その 接点のx座標は,曲線 \\[2.5mm]\hspace*{11zw} y=f(x)=(x-a)^2+\Bigl(\dfrac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\,x\,}-a\Bigr)^{\!2}\\[3mm] \hspace*{-2zw} と直線y=r^2\,が接する場合の接点のx座標と一致する。\\[1.5mm] \hspace*{-1zw}\, 1\,\mbox{\large$<$}\,a\leqq\kobox{(ソ)}\ の\hspace*{.2pt}と \hspace*{.2pt}き,\ \ y=f(x)は\ x\,\mbox{\large$>$}\,0\ において\ x=\alpha_0^{} \hspace*{-1pt}=\kobox{(タ)}\hspace*{3pt}で\hspace*{.3pt}の\hspace*{.3pt}み \hspace*{.3pt}極\hspace*{.3pt}小\hspace*{.3pt}と \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} なる。 よって,\ \ x座標が\,\alpha_0^{}なる点において半径r=\kobox{(チ)}\hspace*{3pt}の 円だけが曲線Cに接する。\\[1.5mm] \hspace*{-1zw} a\,\mbox{\large$>$}\,\kobox{(ソ)}\hspace*{2pt}の\hspace*{-.5pt} と\hspace*{-.5pt}き,\ \,y\hspace*{-1pt}=\hspace*{-1.5pt}f(x)はx>0において x=\alpha_0^{}で極大となり,\ \ x\hspace*{-1pt}=\hspace*{-1pt}\alpha_1^{} \hspace*{-2pt}=\kobox{(ツ)}\,, \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} x=\alpha_2^{}\hspace* {-1pt}=\kobox{(テ)}\ (\alpha_1^{}\!<\alpha_2^{})において極小となる。 したがって,\ \,x座標が\,\alpha_0^{}なる点で曲線C \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} に接する円のほかに,半径r=\kobox{(ト)}\ の円がx座標が\,\alpha_1^{},\ \alpha_2^{}\,なる2点において曲線Cに\\[1mm]\hspace*{-2zw}接する。$ \end{document}