慶應義塾大学 理工学部 2009年度 問2

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2009年度
問No 問2
学部 理工学部
カテゴリ 確率 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=142mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.6mm\framebox[14.5mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}% {\LARGE\textbf{A\,2}} \\[4mm]\hspace*{-1zw}% さいころを投げるという試行を繰り返し行う。ただし,\,2回連続して5以上の目が出た \\[1.5mm]\hspace*{-2zw}場合は,それ以降の試行は行わないものとする。$ \\[1.5mm]% \hspace*{-1zw} n回目の試行が行われ,かつn回目に出た目が4以下になる確率を\, \raisebox{1pt}{$p_n$}\,とする。このとき,\displaystyle \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} p_1^{}=\frac{\,2\,}{3}\hspace*{1pt},\ \,p_2^{}=\kobox{(ケ)}\,,\ \,p_3^{} =\kobox{(コ)}\ である。\ また\hspace*{2pt}\raisebox{1pt}{$p_0^{}$}=1と おく。\ \,n\geqq 0に対して,\ \ \raisebox{1pt}{$p_n$}, \\[1.5mm]\hspace*{-2zw} \raisebox{1pt}{$p_{n-1}^{}$},\ \,\raisebox{1pt}{$p_{n-2}$}\,の間に成立する 関係式を求め,それを\hspace*{2pt}\raisebox{1pt}{$p_{n+2}^{}$}-\beta\,\raisebox {1pt}{$p_{n+1}^{}$}=\alpha(\raisebox{1pt}{$p_{n+1}^{}$}-\beta\,\raisebox{1pt} {$p_n$})\ (\alpha\hspace*{-1pt}>\hspace*{-1pt}\beta)の\\[1mm]\hspace*{-2zw} 形に書くと\ \alpha=\kobox{(サ)}\ である。よって,\ \ p_n=\frac{\sqrt{\hspace* {1pt}3\hspace*{1pt}}\,}{2}\bigl(\,\kobox{(シ)}\,\bigr)となる。\\[1.5mm] \hspace*{-1zw}また,\ \ n回目の試行が行われ,\ \,かつn回目に出た目が5以上になる 確率を\,\raisebox{1pt}{$q_n$}とする。\ この\\[1.5mm]\hspace*{-2zw}とき\, \raisebox{1pt}{$q_1^{}=\dfrac{1}{\,3\,}$}\,である。\hspace*{4pt}n\geqq 2とする とき,\ \,\raisebox{1pt}{$q_n$}と\,\raisebox{1pt}{$p_{n-1}^{}$},\hspace*{4pt} \raisebox{1pt}{$p_{n-2}^{}$}\,の間にはq_n=\kobox{(ス)}\hspace*{3pt}なる関係\\ \hspace*{-2zw} 式が成り立つ。したがって,\ \ 5以上の目が出る回数の期待値 は\sum_{n=1}^\infty q_n=\kobox{(セ)}\ である。$ \end{document}