慶應義塾大学 理工学部 2008年度 問5

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 慶應義塾大学
学科・方式 理工学部
年度 2008年度
問No 問5
学部 理工学部
カテゴリ 数列 ・ 積分法の応用
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper.11pt]{jarticle} \textwidth=130mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\kobox#1{{\fboxsep=0.8mm\framebox[14mm][c]{\small #1}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-2zw}{\LARGE\textbf{B\,1}} $ \\[4mm] \hspace*{-1zw} nは正の整数とする。\\[4mm] \hspace*{-2zw}\,(\makebox[1zw][c]{1})\ \ \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ n^\frac{\,3\,}{2}}\sum_{k=1}^n k^{\hspace*{.5pt} \frac{1}{\,2\,}}=\kobox{(ヘ)}\ である。\\[8mm]\hspace*{-1zw} 以下でp,\ \,q,\ \,rは正の実数とする。\ \,S_{\hspace*{.5pt}p}\hspace*{1pt}(n) =\sum_{k=1}^n k^{\hspace*{1pt}p}\,とおく。\\[8mm] \hspace*{-2zw}\,(\makebox[1zw][c]{2})\ \ \,すべてのnに対しS_{\hspace*{.5pt}3} \hspace*{1pt}(n)=\frac{\raisebox{-.5mm}{1}}{\ 4\ }\hspace*{1pt}n^2(n\!+\!1)^2\, であることを証明しなさい。\\[8mm] \hspace*{-2zw}\,(\makebox[1zw][c]{3})\ \ \,極限\,\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ n^{\hspace*{.5pt}r}\,}S_{\hspace*{.5pt}p}\hspace*{1pt}(n)\ が0でない有限の値と なるのは,\ \ rとpの間に関係式 \\[1.5mm] r=\kobox{(ホ)}\ が成り立つときのみであ る。そのときの極限値をpを用いてあらわせば \\[1mm] \kobox{(マ)}\ である。さらに \,\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\,n^{\hspace*{.5pt}\raisebox{1pt}{\scriptsize$p$} +1}}\{S_q\hspace*{1pt}(n)\}^2\ が\ 0\ でない有限の値となるのは,\ \ pとq \\ [1.5mm] の間に関係式p=\kobox{(ミ)}\ が成り立つときに限る。\\[8mm] \hspace*{-2zw}\,(\makebox[1zw][c]{4})\ \ \,すべての\ n\ に対し\ S_p \hspace*{1pt}(n)=\{S_q\hspace*{1pt}(n)\}^2\,が成り立つための 必要十分条件は,\ \ p=3\ かつ\\[1.5mm]q=1であることを証明しなさい。$ \end{document}