東京工業大学 後期 2008年度 問1

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解答作成者: 大塚 美紀生

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入試情報

大学名 東京工業大学
学科・方式 後期
年度 2008年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 工学部 ・ 生命理工学部
カテゴリ 式と証明 ・ 数列
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[b5paper,11pt]{jarticle} \textwidth=136mm \topmargin=-15mm \usepackage{amsmath,amssymb} \pagestyle{empty} \def\3dots{\makebox[1zw][c]{$\cdot\!\cdot\!\cdot$}} \def\Nbr#1{\raisebox{-1.5pt}{\fboxrule=.8pt\framebox[7mm][c] {\textbf{\Large#1\hspace*{.5pt}}}}} \begin{document} \noindent\hspace*{-1zw}\Nbr{1}\ \ \,次の問に答えよ. $ \\[8mm]\ \ (\makebox[1.5mm][c]{1})\ \ 実数a_1,\,a_2,\,x_1,\,x_2,\,y_1,\,y_2\,が\\[2.5mm] \hspace*{12zw} \begin{array}{l@{}l} &\, 0\,\mbox{\Large$<$}\,a_1\leqq a_2 \\[1.5mm] & a_1\hspace*{.5pt}x_1\leqq a_1\hspace*{.5pt}y_1 \\[1.5mm] a_1\hspace*{.5pt}x_1\,+\ & a_2\hspace*{.5pt}x_2\leqq a_1\hspace*{.5pt}y_1 \hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}a_2\hspace*{.5pt}y_2 \end{array}\\[2.5mm] \quad\ \ を\hspace*{.5pt}み\hspace*{.5pt}た\hspace*{.5pt}し\hspace*{.5pt}て \hspace*{.5pt}い\hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}す\hspace*{.5pt} る.\ \ こ\hspace*{.5pt}の\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}き\ x_1\hspace*{1pt} +\hspace*{1pt}x_2\leqq y_1\hspace*{1pt}+\hspace*{1pt}y_2\ で\hspace*{.5pt}あ \hspace*{.5pt}る\hspace*{.5pt}こ\hspace*{.5pt}と\hspace*{.5pt}を\hspace*{.5pt} 証\hspace*{.5pt}明\hspace*{.5pt}せ\\[1mm]\quad\ \ よ. \\[8mm] \ \ (\makebox[1.5mm][c]{2})\ \ \,nを2以上の整数とし,\ \ \,3n個の実数a_1, \hspace*{1pt}a_2,\hspace*{1pt}\3dots,\hspace*{1pt}a_n,\hspace*{1pt}x_1,\hspace* {1pt}x_2,\hspace*{1pt}\3dots,\hspace*{1pt}x_n,\hspace*{1pt}y_1,\hspace*{1pt} y_2,\hspace*{1pt}\3dots, \\[1mm]\quad\ \ y_n\,が\\[1.5mm] \hspace*{13.5zw} 0\,\mbox{\Large$<$}\,a_1\leqq a_2\leqq\3dots\leqq a_n \\ [1.5mm]\quad\ \ およびn個の不等式 \\[1.5mm] \hspace*{10.5zw} \sum\limits_{i=1}^j a_i\hspace*{.5pt}x_i \leqq \sum\limits_{i=1}^j a_i\hspace*{.5pt}y_i\ (j=1\,,\ 2\,,\,\3dots,\,n) \\[2mm] \quad\ \ をみたしているならば,\\[1mm] \hspace*{15zw} \sum\limits_{i=1}^n x_i \leqq \sum\limits_{i=1}^n y_i \\[1mm] \quad\ \ であることを証明せよ. $ \end{document}