大阪大学 後期理系 2006年度 問1

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解答作成者: 森 宏征

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入試情報

大学名 大阪大学
学科・方式 後期理系
年度 2006年度
問No 問1
学部 理学部 ・ 医学部 ・ 歯学部 ・ 薬学部 ・ 工学部 ・ 基礎工学部
カテゴリ 三角関数
状態 解答 解説なし ウォッチリスト

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\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{jreport} \setlength{\topmargin}{-25mm} \setlength{\oddsidemargin}{2.5mm} \setlength{\textwidth}{420pt} \setlength{\textheight}{700pt} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{ascmac} \usepackage{graphicx} \usepackage{delarray} \usepackage{multicol} \usepackage{amscd} \usepackage{pifont} \usepackage{color} \ExecuteOptions{usename} \usepackage{vector3} %\usepackage{myhyper} \begin{document} \setlength{\abovedisplayskip}{0.5zw} \setlength{\belowdisplayskip}{0.5zw} 平面上に点Oを中心とする半径5と10の同心円 $C_1,\,\,C_2$ があり, Oから距離2のところに定点Aがある. 動点$\P_1,\,\,\P_2$がそれぞれ $C_1,\,\,C_2$ 上を一定の速さで反時計回りに 動いている. ある時点で$\O,\,\,\A,\,\,\P_1,\,\,\P_2$がこの順に一直線上に並び, また,$\P_2$が1周する間に$\P_1$は2周するものとする. $\triangle\A\P_1\P_2$の面積の最大値を求めよ. ただし,$\A,\,\,\P_1,\,\,\P_2$が一直線上にある場合は面積を0とみなす. \hfill(配点70点) \vskip 2zw 以下, {\color[named]{OrangeRed}\bfseries\sffamily 2006年度後期理系}の全問題を挙げる. \newpage \noindent{\large \bfseries \fbox{1}} \vskip 1mm 平面上に点Oを中心とする半径5と10の同心円 $C_1,\,\,C_2$ があり, Oから距離2のところに定点Aがある. 動点$\P_1,\,\,\P_2$がそれぞれ $C_1,\,\,C_2$ 上を一定の速さで反時計回りに 動いている. ある時点で$\O,\,\,\A,\,\,\P_1,\,\,\P_2$がこの順に一直線上に並び, また,$\P_2$が1周する間に$\P_1$は2周するものとする. $\triangle\A\P_1\P_2$の面積の最大値を求めよ. ただし,$\A,\,\,\P_1,\,\,\P_2$が一直線上にある場合は面積を0とみなす. \hfill(配点70点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{2}} \vskip 1mm 放物線 $y = x^2$ 上の相異なる3点P,Q,Rは$\triangle\P\Q\R$が正三角形になるように動いている. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  P,Q,Rの$x$座標を $p,\,\,q,\,\,r$ とするとき, $p^2 + q^2 + r^2$ を $pq + qr + rp$ のみで表せ. \item  $\triangle\P\Q\R$の重心はある一つの放物線上にあることを示せ. \hfill(配点60点) \end{enumerate} \vskip 1zw \noindent{\large \bfseries \fbox{3}} \vskip 1mm $a > 1$ とする.曲線 $y = \tan x\,\,\,\left(0 < x < \dfrac{\pi}{2} \right)$ と 直線 $y = ax$ によって囲まれた部分の面積を $S$ とする. 極限 \[ \lim_{a \to \infty} \frac{S}{a} \] を求めよ. ただし,$\lim\limits_{x \to +0} x\log x = 0$ を証明なしに用いてもよい. \hfill(配点60点) \vskip 2zw \noindent{\large \bfseries \fbox{4}} \vskip 1mm $n,\,\,m$ を自然数とする. 二つの袋A,Bがあり, 袋Aには$n$個, 袋Bには$m$個の玉が入っている. それぞれの玉には1以上 $m$ 以下の整数が一つずつ書かれている. 袋Aの玉に書かれている数字には重複がない. 一方,袋Bの玉に書かれている数字には重複があり得る. 袋Bの$m$個の玉に書かれている数字を $x_1,\,\,\cdots,\,\,x_m$ とする. 袋Aと袋Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し, 書かれている数字を比較する. 袋Aから取り出した玉に書かれている数字が袋Bから取り出した玉に書かれている 数字より大きくなる確率を $p$, 袋Aから取り出した玉に書かれている数字が袋Bから取り出した玉に書かれている 数字より小さくなる確率を $q$ とする. \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \item  $m = 2$ のとき $p$ と $q$ を $x_1,\,\,x_2$ および $n$ で表せ. \item  $m = n$ のとき, $p = q$ となるための $x_1,\,\,\cdots,\,\,x_n$ についての条件を求めよ.\\ \hfill(配点60点) \end{enumerate} \end{document}